האם ראית אי פעם אחת מאותן ציפורי צעצוע שמסוגלות להתאזן בקצה האצבע על ידי מקורו בלי להתהפך, כאילו בכישוף? זה לא קסם שמאפשר לציפור בכלל לאזן, אלא הפיזיקה הפשוטה הקשורה למרכז המסה.
הבנת הפיזיקה שמאחורי מרכז המסה מאפשרת לך לא רק להבין את שימור המומנטום וקשורים אחרים פיזיקה, אך יכול גם להודיע על יציבות ודינמיקה בספורט שאתה משחק, כמו גם לאפשר לך לבצע איזון יצירתי מעשים.
הגדרת מרכז המיסה
של אובייקטמרכז המסה, הנקרא לפעמים גם מרכז הכובד, יכול להיחשב כנקודה בה ניתן להתייחס למסה הכוללת של אובייקט או מערכת כמסה נקודתית. במצבים מסוימים ניתן להתייחס לכוחות חיצוניים כאילו הם פועלים על מרכז המסה של האובייקט.
עבור ציפור הצעצוע שמתאזנת בקצה האצבעות, מרכז המסה נמצא במקורו. זה אולי נראה שגוי בהתחלה, ולכן פעולת האיזון נראית קסומה. ואכן, עבור ציפור היושבת על ענף, מרכז המסה שלה נמצא איפשהו בגופו. אך צעצוע הציפור המאזן מכיל לעיתים קרובות כנפיים משוקללות המשתרעות החוצה וקדימה, מה שגורם לו להתאזן אחרת.
ניתן לקבוע את מרכז המסה עבור אובייקט יחיד - כמו הציפור המאזנת - או שהוא יכול להיות מחושב עבור מערכת של כמה עצמים, כפי שתראו בחלק מאוחר יותר.
מרכז מיסה לאובייקט יחיד
תמיד תהיה נקודה אחת על גוף נוקשה שהוא המיקום של מרכז המסה של אותו גוף. מיקום מרכז המסה של אובייקט תלוי בהתפלגות המסה.
אם אובייקט הוא בעל צפיפות אחידה, קל יותר לקבוע את מרכז המסה שלו. לדוגמא, במעגל של צפיפות אחידה, מרכז המסה הוא מרכז המעגל. (עם זאת, זה לא יהיה המקרה אם המעגל היה צפוף יותר מצד אחד מהצד השני).
למעשה, מרכז המסה יהיה תמיד במרכז הגיאומטרי של האובייקט כאשר הצפיפות אחידה. (מרכז גאומטרי זה נקראcentroid.)
אם הצפיפות אינה אחידה, ישנן דרכים אחרות לקבוע את מרכז המסה. חלק משיטות אלה כוללות שימוש בחשבון, שאינו מתחום המאמר. אך דרך פשוטה אחת לקבוע את מרכז המסה של אובייקט נוקשה היא פשוט לנסות לאזן אותו בקצה האצבע. מרכז המסה יהיה בנקודת האיזון.
שיטה נוספת, שימושית לאובייקטים מישוריים, היא כדלקמן:
- השעיית הצורה מנקודת קצה אחת יחד עם קו אינסטלציה.
- צייר קו על הצורה שמתיישרת קו האינסטלציה.
- השעיית הצורה מנקודת קצה אחרת יחד עם קו אינסטלציה.
- שרטט קו על הצורה שמתיישרת קו האינסטלציה החדש.
- שני הקווים המשורטטים צריכים להצטלב בנקודה אחת.
- נקודת צומת ייחודית זו היא המיקום של מרכז המסה.
אולם עבור חלק מהאובייקטים נקודת האיזון יכולה להיות מחוץ לתחום האובייקט עצמו. תחשוב על טבעת, למשל. מרכז המסה לצורת טבעת נמצא במרכז, שבו שום חלק מהטבעת לא קיים בכלל.
מרכז המסה של מערכת חלקיקים
ניתן לחשוב על מיקום מרכז המסה של מערכת חלקיקים כמיקום המסה הממוצע שלהם.
ניתן להשתמש באותו רעיון כמו לאובייקט נוקשה אם אתה מתאר לעצמך שמערכת החלקיקים הזו קשורה כולם במישור נוקשה וחסר המונים. מרכז המסה יהיה אז נקודת האיזון של אותה מערכת.
כדי לקבוע את מרכז המסה של מערכת חלקיקים באופן מתמטי, ניתן להשתמש בנוסחה הפשוטה הבאה:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
איפהMהוא המסה הכוללת של המערכת,Mאניהם ההמונים האישיים וראניהם וקטורי המיקום שלהם.
בממד אחד (עבור המונים המופצים לאורך קו ישר) תוכלו להחליףרעםאיקס.
בשני מימדים, אתה יכול למצוא אתאיקס-תאם וy-תאם מרכז המסה בנפרד כ:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ text {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
דוגמאות לחישוב מרכז המיסה
דוגמה 1:מצא את הקואורדינטות של מרכז המסה של מערכת החלקיקים הבאה: חלקיק בעל מסה 0.1 ק"ג ממוקם ב (1, 2), חלקיק המסה 0.05 ק"ג ממוקם ב (2, 4) וחלקיק המסה 0.075 ק"ג ממוקם ב (2, 1).
פתרון 1:החל את הנוסחה עבור ה-איקס-תאם מרכז המסה באופן הבא:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ טקסט {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (1) + 0.05 (2 ) + 0.075 (2)) \\\ טקסט {} \\ = 0.079
ואז החל את הנוסחה עבור ה-y-תאם מרכז המסה באופן הבא:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ טקסט {} \\ = \ frac {1} {0.1 + 0.05 + 0.075} (0.1 (2) + 0.05 (4 ) + 0.075 (1)) \\\ טקסט {} \\ = 2.11
אז מיקום מרכז המסה הוא (0.079, 2.11).
דוגמה 2:מצא את מיקום מרכז המסה של משולש שווה צלעות בצפיפות אחידה שקודקודם מונח בנקודות (0, 0), (1, 0) ו- (1/2, √3 / 2).
פתרון 2:עליכם למצוא את המרכז הגיאומטרי של משולש שווה צלעות זה באורך הצד 1. האיקסהתיאום של המרכז הגיאומטרי פשוט - הוא פשוט 1/2.
הy-תאם הוא קצת יותר מסובך. זה יתרחש במקום שקו מהחלק העליון של המשולש לנקודה (0, 1/2) מצטלב עם קו מכל אחד מהקודקודים האחרים עד נקודת האמצע של אחד הצדדים הנגדי. אם תשרטט סידור כזה, תמצא את עצמך עם משולש ימין 30-60-90 שרגלו הארוכה היא 0.5 ורגל קצרה היאy-לְתַאֵם. הקשר בין הצדדים הללו הוא √3y = 1/2, ומכאן y = √3 / 6, והקואורדינטות של מרכז המסה הן (1/2, √3 / 6).
תנועת מרכז המיסה
מיקום מרכז המסה של אובייקט או מערכת עצמים יכול לשמש כנקודת ייחוס בחישובי פיזיקה רבים.
כשעובדים עם מערכת של חלקיקים האינטראקטיביים, למשל, מציאת מרכז המסה של המערכת מאפשרת להבין את המומנטום הליניארי. כאשר נשמר המומנטום הליניארי, מרכז המסה של המערכת ינוע במהירות קבועה גם כשהאובייקטים עצמם קופצים זה מזה.
עבור אובייקט נוקשה שנופל, ניתן להתייחס לכוח המשיכה כאל פועל על מרכז המסה של אותו אובייקט, גם אם אובייקט זה מסתובב.
הדבר נכון גם לגבי קליעים. דמיין שזורק פטיש, וכשהוא עף דרך קשת באוויר, הוא מסתובב מקצה לקצה. זה אולי נראה כמו תנועה מורכבת לדגם בהתחלה, אבל מתברר שמרכז המסה של הפטיש נע בדרך פרבולית חלקה ונאה.
ניתן לבצע ניסוי פשוט המדגים זאת על ידי הדבקת פיסת סרט זוהר קטנה למרכז המסה של הפטיש, ואז השלכת הפטיש כמתואר בחדר חשוך. נראה כי סרט הזוהר נע בקשת חלקה, כמו כדור שהושלך.
ניסוי פשוט: מצא את מרכז המיסה של מטאטא
ניסוי מרכז המוני מהנה שתוכלו לבצע בבית כולל שימוש בטכניקה פשוטה למציאת מרכז המסה של מטאטא. כל מה שאתה צריך לניסוי זה הוא מטאטא אחד ושתי ידיים.
כשידיך רחוקות יחסית, החזק את המטאטא בקצה שתי אצבעות המצביע. ואז, קירב את הידיים לאט לאט, והחל אותן מתחת למטאטא. כשאתה מקרב את הידיים זה לזה, ייתכן שתבחין ביד אחת שרוצה להחליק לאורך החלק התחתון של ידית המטאטא ואילו השנייה נשארת במקום זמן מה לפני שהיא מחליקה.
כל הזמן שידייך נעות, המטאטא נשאר מאוזן. בסופו של דבר, כששתי הידיים שלך נפגשות, הן ייפגשו במקום מרכז המסה של המטאטא.
מרכז המסה של גוף האדם
מרכז המסה של גוף האדם ממוקם איפשהו ליד הטבור (כפתור הטבור). אצל גברים מרכז המסה נוטה להיות מעט גבוה יותר מאחר שהם נושאים יותר מסת גוף בפלג גופם העליון, ובנשים מרכז המסה נמוך יותר מכיוון שהם נושאים יותר מסת בירכיהם.
אם אתה עומד על רגל אחת, מרכז המסה שלך יעבור לכיוון כף הרגל שעליה אתה עומד. יתכן שתבחין בעצמך נוטה יותר לכיוון הצד ההוא. הסיבה לכך היא שכדי להישאר מאוזנים, מרכז המסה שלך צריך להישאר מעל כף הרגל שעליה אתה מאזן, אחרת אתה תתהפך.
אם אתה עומד עם רגל אחת וירך על קיר ומנסה להרים את הרגל השנייה שלך, סביר להניח שתגלה שזה בלתי אפשרי מכיוון שהקיר מונע ממשקלך לעבור על רגל האיזון.
דבר נוסף שיש לנסות הוא לעמוד עם הגב אל הקיר והעקבים נוגעים בקיר. ואז נסה להתכופף קדימה ולגעת ברצפה מבלי לכופף את הרגליים. נשים עשויות להצליח במשימה זו יותר מגברים מכיוון שמרכז המסה שלהן נמוך יותר בגופן ועשוי בסופו של דבר להיות מעל הבהונות כשהן רוכנות קדימה.
מרכז המיסה והיציבות
מיקום מרכז המסה יחסית לבסיס האובייקט קובע את יציבותו. משהו נחשב למאוזן ביציבות אם כאשר הוא מוטה מעט ומשוחרר ואז הוא חוזר למקומו המקורי במקום להתהפך יותר וליפול.
שקול צורת פירמידה תלת מימדית. אם הוא מאוזן על בסיסו, הוא יציב. אם אתה מרים קצה אחד מעט ומשחרר אותו, הוא נופל חזרה למטה. אבל אם תנסה לאזן את הפירמידה על קצה שלה, אז כל חריגה מאיזון מושלם תגרום לה ליפול.
אתה יכול לקבוע אם אובייקט ייפול למקומו המקורי או יתהפך על ידי התבוננות במיקום מרכז המסה ביחס לבסיס. לאחר שמרכז המסה יעבור על פני הבסיס, האובייקט יתהפך.
אם אתה עוסק בספורט, ייתכן שאתה מכיר את המיקום המוכן בו אתה עומד בעמדה רחבה וברכיים כפופות. זה שומר על מרכז המסה שלך נמוך, והבסיס הרחב הופך אותך ליציב יותר. שקול כמה קשה מישהו יצטרך לדחוף אותך להטות אותך אם אתה במצב מוכן לעומת כשאתה עומד זקוף עם הרגליים יחד.
יש מכוניות שיש בעיות להתהפך כשהן פונות סיבוב חד. הסיבה לכך היא המיקום של מרכז המסה שלהם. אם מרכז המסה של הרכב גבוה מדי והבסיס אינו רחב מספיק, אז לא צריך הרבה כדי לגרום לו להתהפך. תמיד הכי טוב ליציבות של הרכב שיהיה רוב המשקל נמוך ככל האפשר.