כיצד לפתור מערכות משוואות באמצעות גרפים

מערכות משוואות יכולות לעזור בפתרון שאלות אמיתיות בכל מיני תחומים, מכימיה ועד עסקים ועד ספורט. פתרון לא חשוב רק לציוני המתמטיקה שלך; זה יכול לחסוך לך הרבה זמן בין אם אתה מנסה להגדיר יעדים לעסק שלך או לקבוצת הספורט שלך.

TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)

כדי לפתור מערכת משוואות על ידי גרף, גרף כל שורה באותה מישור קואורדינטות ותראה היכן הן מצטלבות.

לדוגמא, דמיין שאתה וחברך מקימים דוכן לימונדה. אתה מחליט לחלק ולכבוש, אז חבר שלך הולך למגרש הכדורסל השכונתי בזמן שאתה נשאר בפינת הרחוב של המשפחה שלך. בסופו של יום, אתה מצרף את הכסף שלך. יחד הרווחתם 200 דולר, אך חברכם הרוויח 50 דולר יותר מכם. כמה הרוויח כל אחד מכם?

או לחשוב על כדורסל: זריקות שנעשו מחוץ לקו 3 הנקודות שוות 3 נקודות, סלים שנעשו בתוך קו 3 הנקודות שווים 2 נקודות וזריקות עונשין שוות נקודה אחת בלבד. היריב שלך לפניך 19 נקודות. אילו שילובי סלים תוכלו להכין על מנת להתעדכן?

גרפים הם אחת הדרכים הפשוטות ביותר לפתרון מערכות משוואות. כל שעליך לעשות הוא לתרום את שתי השורות באותו מישור קואורדינטות, ואז לראות היכן הן מצטלבות.

ראשית, עליכם לכתוב את בעיית המילה כמערכת משוואות. הקצה משתנים לאלמונים. התקשר לכסף שאתה מרוויחי, והכסף שהחבר שלך מרוויחF​.

כעת יש לך שני סוגים של מידע: מידע על כמה כסף הרווחת יחד, ומידע על הכסף שעשית לעומת הכסף שחבר שלך הרוויח. כל אחד מאלה יהפוך למשוואה.

למשוואה הראשונה, כתוב:

מכיוון שהכסף שלך בתוספת הכסף של החבר שלך מסתכם ב- 200 דולר.

לאחר מכן, כתוב משוואה לתיאור ההשוואה בין הרווחים שלך.

כי הסכום שעשית שווה ל 50 דולר פחות ממה שחבר שלך עשה. אתה יכול גם לכתוב את המשוואה הזו כ-י​ + 50 = ​Fמכיוון שמה שעשית פלוס 50 דולר שווה למה שחברך הכין. אלה דרכים שונות לכתוב את אותו הדבר ולא ישנו את התשובה הסופית שלך.

אז מערכת המשוואות נראית כך:

לאחר מכן, עליך לשרטט את שתי המשוואות באותו מישור קואורדינטות. תרשים את הסכום שלך,י, עלy-ציר וסכום חברך,F, עלאיקס-ציר (למעשה לא משנה איזה הוא כל עוד תווית אותם נכון). אתה יכול להשתמש בנייר גרף ובעיפרון, במחשבון גרפים כף יד או במחשבון גרפים מקוון.

כרגע משוואה אחת היא בצורה סטנדרטית ואחת היא בצורת יירוט שיפוע. זו לא בעיה, בהכרח, אך לצורך העקביות, העבירו את שתי המשוואות לצורת יירוט במדרון.

אז למשוואה הראשונה, המירו מצורה סטנדרטית לצורת יירוט שיפוע. זה אומר לפתור עבורי; במילים אחרות, קבלימעצמו בצד שמאל של סימן השווה. אז תגרעFמשני הצדדים:

זכרו שבצורת יירוט שיפוע, המספר מול ה- F הוא השיפוע והקבוע הוא יירוט ה- y.

לשרטט את המשוואה הראשונה,י​ = −​F+ 200, צייר נקודה ב- (0, 200), ואז השתמש במדרון כדי למצוא נקודות נוספות. השיפוע הוא -1, אז רדו יחידה אחת ומעל יחידה אחת וציירו נקודה. זה יוצר נקודה ב- (1, 199), ואם תחזור על התהליך החל מנקודה זו, תקבל נקודה נוספת ב- (2, 198). אלה תנועות זעירות על קו גדול, אז צייר עוד נקודה אחת אלאיקסליירט כדי לוודא שיש לך דברים גרפים יפה בטווח הארוך. אםי= 0, אם כןFיהיה 200, אז צייר נקודה ב (200, 0).

לשרטט את המשוואה השנייה,י​ = ​F- 50, השתמש ביירוט ה- y של -50 כדי לצייר את הנקודה הראשונה ב- (0, -50). מכיוון שהמדרון הוא 1, התחל מ (0, −50), ואז עלה על יחידה אחת ומעל יחידה אחת. זה מציב אותך ב (1, −49). חזור על התהליך החל מ (1, −49) ותקבל נקודה שלישית ב (2, −48). שוב, כדי לוודא שאתה עושה דברים בצורה מסודרת למרחקים ארוכים, בדוק את עצמך פעמיים על ידי ציור גם באיקס-לעכב. מתיי​ = 0, ​Fיהיה 50, אז צייר גם נקודה ב (50, 0). שרטט קו מסודר המחבר בין נקודות אלה.

התבונן מקרוב בגרף שלך כדי לראות היכן שני הקווים מצטלבים. זה יהיה הפיתרון, מכיוון שהפתרון למערכת משוואות הוא הנקודה (או הנקודות) שהופכות את שתי המשוואות לאמיתיות. בגרף זה ייראה כמו הנקודה (או הנקודות) בה שני השורות מצטלבות.

במקרה זה, שתי השורות מצטלבות ב (125, 75). אז הפיתרון הוא שחבר שלך (האיקס-קואורדינטות) הרווחתם 125 דולר ואתם (y-קואורדינטות) הרוויח 75 דולר.

בדיקת לוגיקה מהירה: האם זה הגיוני? יחד, שני הערכים מוסיפים 200, ו 125 הוא 50 יותר מ 75. נשמע טוב.

במקרה זה הייתה בדיוק נקודה אחת בה חצו שני הקווים. כאשר אתה עובד עם מערכות משוואות, יש שלוש תוצאות אפשריות, וכל אחת מהן תיראה אחרת בתרשים.

• אם למערכת יש פיתרון אחד, הקווים יחצו בנקודה אחת, כפי שעשו בדוגמה.
• אם למערכת אין פתרונות, הקווים לעולם לא יעברו. הם יהיו מקבילים, מה שאומר במונחים אלגבריים שיהיה להם שיפוע זהה.
• למערכת יכולים להיות גם פתרונות אינסופיים, מה שאומר שהקווים ה"שניים "שלך הם למעשה אותו קו. אז תהיה להם כל נקודה משותפת, שהיא מספר אינסופי של פתרונות.