פיתרון אי-שוויון מוחלט בערך דומה לפתרון משוואות ערך מוחלטות, אך יש לזכור כמה פרטים נוספים. זה עוזר כבר להיות נוח לפתור משוואות ערכיות מוחלטות, אבל זה בסדר אם לומדים אותן גם יחד!
הגדרת אי שוויון ערכי מוחלט
קודם כל, anאי שוויון ערכי מוחלטהוא אי שוויון הכרוך בביטוי ערכי מוחלט. לדוגמה,
| 5 + x | - 10> 6
הוא אי שוויון ערכי מוחלט מכיוון שיש לו סימן אי שוויון,>, וביטוי ערכי מוחלט, | 5 +איקס |.
כיצד לפתור אי שוויון ערכי מוחלט
הצעדים לפתרון אי שוויון ערכי מוחלטדומים לשלבים לפתרון משוואת ערך מוחלטת:
שלב 1:בידוד את הביטוי הערכי המוחלט בצד אחד של אי השוויון.
שלב 2:לפתור את "הגרסה" החיובית לאי השוויון.
שלב 3:פתר את ה"גרסה "השלילית של האי-שוויון על ידי הכפלת הכמות בצד השני של האי-שוויון ב- -1 והפוך את סימן האי-שוויון.
זה הרבה מה לקחת בבת אחת, אז הנה דוגמה שתעביר אותך דרך השלבים.
לפתור את אי השוויון עבוראיקס:
| 5 + 5x | - 3> 2
לשם כך, קבל | 5 + 5איקס| מעצמו בצד שמאל של אי השוויון. כל שעליך לעשות הוא להוסיף 3 לכל צד:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
כעת ישנן שתי "גרסאות" לאי השוויון שעלינו לפתור: "הגרסה" החיובית וה"גרסה "השלילית.
עבור שלב זה, נניח שהדברים הם כפי שהם נראים: ש -5 + 5איקס > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
זהו אי שוויון פשוט; אתה רק צריך לפתור עבוראיקסכרגיל. מחסרים 5 משני הצדדים ואז מחלקים את שני הצדדים ב- 5.
\ התחל {מיושר} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(הפחת חמש משני הצדדים)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(חלקו את שני הצדדים בחמישה)} \\ & x> 0 \ end {align}
לא רע! אז פיתרון אפשרי אחד לאי השוויון שלנו הוא זהאיקס> 0. כעת, מכיוון שמדובר בערכים מוחלטים, הגיע הזמן לשקול אפשרות אחרת.
כדי להבין את החלק הבא, זה עוזר לזכור מה המשמעות של ערך מוחלט.ערך מוחלטמודד מרחק מספר מאפס. המרחק תמיד חיובי, ולכן 9 רחוק מתשע יחידות מאפס, אך −9 רחוק גם מתשע יחידות מאפס.
אז | 9 | = 9, אבל | −9 | = 9 גם כן.
עכשיו חזור לבעיה לעיל. העבודה לעיל הראתה כי | 5 + 5איקס| > 5; במילים אחרות, הערך המוחלט של "משהו" גדול מחמישה. עכשיו, כל מספר חיובי גדול מחמש הולך להיות רחוק יותר מאפס מחמישה הוא. אז האפשרות הראשונה הייתה ש"משהו ", 5 + 5איקס, גדול מ -5.
זה:
5 + 5x> 5
זה התרחיש שהתמודד למעלה, בשלב 2.
עכשיו תחשוב קצת יותר רחוק. מה עוד רחוק חמש יחידות מאפס? ובכן, חמש שלילי הוא. וכל מה שנמצא מעבר לקו המספרים מחמישית שלילי הולך להיות רחוק עוד יותר מאפס. אז ה"משהו "שלנו יכול להיות מספר שלילי שנמצא רחוק יותר מאפס מאשר חמש. זה אומר שזה יהיה מספר נשמע גדול יותר, אבל מבחינה טכניתפחות משלילי חמש מכיוון שהוא נע בכיוון השלילי בשורת המספרים.
אז ה"משהו "שלנו, 5 + 5x, יכול להיות פחות מ -5.
5 + 5x
הדרך המהירה לעשות זאת באופן אלגברי היא להכפיל את הכמות בצד השני של האי-שוויון, 5, בשלילה, ואז להפוך את סימן האי-שוויון:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
ואז לפתור כרגיל.
\ התחל {מיושר} & 5 + 5x
אז שני הפתרונות האפשריים לאי השוויון הםאיקס> 0 אואיקס< −2. בדוק את עצמך על ידי חיבור מספר פתרונות אפשריים כדי לוודא שאי השוויון עדיין נכון.
אי-שוויון מוחלט ללא ערך
יש תרחיש שיהיהאין פתרונות לאי שוויון ערכי מוחלט. מכיוון שערכים מוחלטים הם תמיד חיוביים, הם לא יכולים להיות שווים למספרים שליליים או פחות.
אז |איקס| ל אין פתרוןכי התוצאה של ביטוי ערכי מוחלט צריכה להיות חיובית.
סימון מרווח
לכתוב את הפיתרון לדוגמא העיקרית שלנו בסימון מרווח, חשוב כיצד נראה הפתרון בשורת המספרים. הפיתרון שלנו היהאיקס> 0 אואיקס< −2. בשורת מספרים, זו נקודה פתוחה ב- 0, עם קו המשתרע עד אינסוף חיובי, ונקודה פתוחה ב- -2, עם קו המשתרע עד אינסוף שלילי. פתרונות אלו מצביעים זה על זה, לא זה כלפי זה, לכן קחו כל חלק בנפרד.
עבור x> 0 בשורת מספרים, יש נקודה פתוחה באפס ואז שורה המשתרעת עד אינסוף. בסימון מרווחים, נקודה פתוחה מודגמת בסוגריים, (), ונקודה סגורה, או אי-שוויון עם ≥ או ≤, ישתמשו בסוגריים, []. אז בשבילאיקס> 0, כתוב (0, ∞).
החצי השני,איקס
"או" בסימון מרווחים הוא סימן האיחוד, ∪.
אז הפיתרון בסימון מרווחים הוא
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)