במתמטיקה מתעורר לעיתים הצורך להוכיח האם פונקציות תלויות או אינן תלויות זו בזו במובן ליניארי. אם יש לך שתי פונקציות תלויות ליניאריות, גרף משוואות של פונקציות אלה גורם לנקודות חופפות. פונקציות עם משוואות עצמאיות אינן חופפות בתרשים. אחת השיטות לקבוע אם פונקציות תלויות או עצמאיות היא חישוב ה- Wronskian עבור הפונקציות.
מה זה Wronskian?
הוורונסקיאן של שתי פונקציות או יותר הוא מה שמכונה קובע, שהוא פונקציה מיוחדת המשמשת להשוואת עצמים מתמטיים ולהוכחת עובדות מסוימות עליהם. במקרה של Wronskian, הקובע משמש להוכחת תלות או עצמאות בין שתי פונקציות ליניאריות או יותר.
מטריקס ורונסקיאן
כדי לחשב את ה- Wronskian עבור פונקציות ליניאריות, יש לפתור את הפונקציות לאותו ערך בתוך מטריצה שמכילה הן את הפונקציות והן את הנגזרות שלהן. דוגמה לכך היא
W (f, g) (t) = \ התחל {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
המספק את Wronskian לשתי פונקציות (fוז) שנפתרים עבור ערך יחיד הגדול מאפס (t); אתה יכול לראות את שתי הפונקציותf(t) וז(t) בשורה העליונה של המטריצה, והנגזרותf'(t) וז'(t) בשורה התחתונה. שימו לב כי ניתן להשתמש ב- Wronskian גם לסטים גדולים יותר. אם למשל, אתה בודק שלוש פונקציות עם Wronskian, אז אתה עשוי לאכלס מטריצה עם הפונקציות והנגזרות של
f(t), ז(t) וח(t).פתרון הוורונסקיאן
ברגע שיש לך את הפונקציות המסודרות במטריצה, הכפל כל פונקציה מול הנגזרת של הפונקציה האחרת והחסר את הערך הראשון מהשנייה. לדוגמא לעיל זה נותן לך
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
אם התשובה הסופית שווה לאפס, זה מראה ששתי הפונקציות תלויות. אם התשובה היא משהו שאינו אפס, הפונקציות אינן תלויות.
דוגמא ורונסקיאן
כדי לתת לך מושג טוב יותר על האופן שבו זה עובד, הנח זאת
f (t) = x + 3 \ text {and} g (t) = x - 2
שימוש בערך שלt= 1, אתה יכול לפתור את הפונקציות כ-
f (1) = 4 \ text {and} g (1) = -1
מכיוון שמדובר בפונקציות ליניאריות בסיסיות עם שיפוע של 1, הנגזרות של שתיהןf(t) וז(t) שווה 1. הכפלת הערכים שלך מוצלבת
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
המספק תוצאה סופית של 5. למרות שלפונקציות הליניאריות יש שיפוע זהה, הן עצמאיות מכיוון שהנקודות שלהן לא חופפות. אםf(t) הביא תוצאה של -1 במקום 4, ורונסקיאן היה נותן תוצאה של אפס במקום זאת כדי לציין תלות.