מהם מספרים אמיתיים?

המספרים האמיתיים הם כל המספרים בשורת מספרים המשתרעים מאינסוף שלילי דרך אפס לאינסוף חיובי. בנייה זו של מערך המספרים האמיתיים אינה שרירותית אלא תוצאה של התפתחות מהמספרים הטבעיים המשמשים לספירה. למערכת המספרים הטבעיים יש כמה סתירות, וככל שהחישובים הפכו מורכבים יותר, מערכת המספרים התרחבה כדי להתמודד עם מגבלותיה. עם מספרים אמיתיים, חישובים נותנים תוצאות עקביות, ויש מעט חריגים או מגבלות כמו שהיו קיימים בגרסאות הפרימיטיביות יותר של מערכת המספרים.

TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)

קבוצת המספרים האמיתיים מורכבת מכל המספרים בשורת המספרים. זה כולל מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים שלמים, מספרים רציונליים ומספרים לא רציונליים. זה לא כולל מספרים דמיוניים או מספרים מורכבים.

סגירה היא המאפיין של קבוצת מספרים שמשמעותה שאם מבצעים חישובים מותרים על מספרים שהם חברים בקבוצה, התשובות יהיו גם מספרים שהם חברים בקבוצה. אומרים שהסט סגור.

מספרים טבעיים הם המספרים הסופרים, 1, 2, 3..., ומערך המספרים הטבעיים אינו סגור. מכיוון שנעשה שימוש במספרים טבעיים במסחר, מיד התעוררו שתי בעיות. בעוד שהמספרים הטבעיים מנה חפצים אמיתיים, למשל פרות, אם לחקלאי היו חמש פרות ומכר חמש פרות, לא היה מספר טבעי לתוצאה. מערכות מספרים מוקדמות פיתחו במהירות מונח לאפס לטיפול בבעיה זו. התוצאה הייתה מערכת המספרים השלמים, שהיא המספרים הטבעיים בתוספת אפס.

הבעיה השנייה נקשרה גם לחיסור. כל עוד המספרים ספרו חפצים אמיתיים כמו פרות, החקלאי לא יכול למכור יותר פרות ממה שהיה לו. אך כאשר המספרים הפכו מופשטים, הפחתת מספרים גדולים יותר מקטנים יותר נתנה תשובות מחוץ למערכת המספרים השלמים. כתוצאה מכך הוצגו מספרים שלמים, שהם המספרים השלמים בתוספת מספרים טבעיים שליליים. מערכת המספרים כללה כעת שורת מספרים מלאה אך רק עם מספרים שלמים.

חישובים במערכת מספרים סגורה צריכים לתת תשובות מתוך מערכת המספרים עבור פעולות כגון חיבור וכפל אך גם עבור פעולות הפוכות, חיסור ו חֲלוּקָה. מערכת המספרים השלמים סגורה לחיבור, חיסור וכפל אך לא לחלוקה. אם מספר שלם מחולק במספר שלם אחר, התוצאה אינה תמיד מספר שלם.

חלוקת מספר שלם קטן במספר גדול יותר נותנת שבר. שברים כאלה נוספו למערכת המספרים כמספרים רציונליים. מספרים רציונליים מוגדרים ככל מספר שיכול להתבטא כיחס של שני מספרים שלמים. כל מספר עשרוני שרירותי יכול לבוא לידי ביטוי כמספר רציונלי. לדוגמא 2.864 הוא 2864/1000 ו- 0.89632 הוא 89632 / 100,000. כעת נראה ששורת המספרים הושלמה.

ישנם מספרים בשורת המספרים שלא ניתן לבטא אותם כשבר מספרים שלמים. האחד הוא היחס בין צלעותיו של משולש ישר זווית להיפוטנוזה. אם שני צידי משולש ישר זווית הם 1 ו- 1, ההיפוטנוזה היא השורש הריבועי של 2. השורש הריבועי של שניים הוא עשרון אינסופי שאינו חוזר. מספרים כאלה נקראים לא רציונליים, והם כוללים את כל המספרים האמיתיים שאינם רציונליים. עם הגדרה זו, שורת המספרים של כל המספרים האמיתיים הושלמה מכיוון שכל מספר ממשי אחר שאינו רציונאלי כלול בהגדרת הלא רציונלי.

למרות שנאמר ששורת המספרים האמיתית נמשכת מאינסוף לאינסוף חיובי, האינסוף עצמו אינו א מספר ממשי אלא מושג של מערכת המספרים המגדירה אותה ככמות הגדולה מכל מספר. אינסוף מתמטית היא התשובה ל- 1 / x כאשר x מגיע לאפס, אך חלוקה באפס אינה מוגדרת. אם האינסוף היה מספר, זה היה מוביל לסתירות מכיוון שהאינסוף אינו פועל לפי חוקי החשבון. לדוגמא, אינסוף פלוס 1 הוא עדיין אינסוף.

קבוצת המספרים האמיתיים סגורה לחיבור, חיסור, כפל וחילוק למעט חלוקה באפס, שאינה מוגדרת. הסט אינו סגור לפחות לפעולה אחת אחרת.

כללי הכפל במערך המספרים האמיתיים מציינים כי הכפל שלילי ו- a מספר חיובי נותן מספר שלילי ואילו הכפל של מספרים חיוביים או שליליים נותן חיובי תשובות. המשמעות היא שהמקרה המיוחד של הכפלת מספר בפני עצמו מניב מספר חיובי למספרים חיוביים ושליליים כאחד. ההפך של מקרה מיוחד זה הוא השורש הריבועי של מספר חיובי, נותן תשובה חיובית ושלילית. עבור השורש הריבועי של מספר שלילי, אין תשובה במכלול המספרים האמיתיים.

המושג מערך המספרים הדמיוניים עוסק בסוגיית השורשים הריבועיים השליליים במספרים האמיתיים. השורש הריבועי של מינוס 1 מוגדר בתור i וכל המספרים הדמיוניים הם מכפילים של i. להשלמת תורת המספרים, קבוצת המספרים המורכבים מוגדרת ככוללת את כל המספרים האמיתיים וכל המספרים המדומים. ניתן להמשיך ולהמחיש מספרים אמיתיים על קו מספר אופקי בעוד מספרים דמיוניים הם קו מספר אנכי, כאשר השניים מצטלבים באפס. מספרים מורכבים הם נקודות במישור של שתי שורות המספרים, שלכל אחת מרכיב אמיתי ודמיוני.