פתרון פונקציות פולינומיות הוא מיומנות מרכזית לכל מי שלומד מתמטיקה או פיזיקה, אך להתמודד עם התהליך - במיוחד כשמדובר בפונקציות מסדר גבוה - יכול להיות מאתגר למדי. פונקציה מעוקבת היא אחד הסוגים המאתגרים ביותר של משוואת פולינום שאולי תצטרך לפתור ביד. אמנם זה לא יכול להיות פשוט כמו לפתור משוואה ריבועית, אך ישנן מספר שיטות תוכלו למצוא את הפיתרון למשוואה מעוקבת מבלי לנקוט בדפים ובדפים מפורטים אַלגֶבּרָה.
מהי פונקציה מעוקבת?
פונקציה מעוקבת היא פולינום מדרגה שלישית. לפונקציה פולינומית כללית יש את הצורה:
f (x) = ax ^ n + bx ^ {n-1} + cx ^ {n-2}... vx ^ 3 + wx ^ 2 + zx + k
פה, איקס הוא המשתנה, נ הוא פשוט כל מספר (ומידת הפולינום), k הוא קבוע ושאר האותיות הן מקדמים קבועים לכל כוח של איקס. כך שיש פונקציה מעוקבת נ = 3, והוא פשוט:
f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d
היכן במקרה זה, ד הוא הקבוע. באופן כללי, כאשר תצטרך לפתור משוואה מעוקבת, יוצג איתה בצורה:
ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx ^ 1 + d = 0
כל פיתרון עבור איקס נקרא "שורש" של המשוואה. למשוואות מעוקבות יש שורש אמיתי אחד או שלוש, אם כי ניתן לחזור עליהן, אך תמיד יש לפחות פיתרון אחד.
סוג המשוואה מוגדר על ידי הכוח הגבוה ביותר, כך שבדוגמא לעיל, זה לא יהיה משוואה קובית אם a = 0, מכיוון שמונח הכוח הגבוה ביותר יהיה bx2 וזו תהיה משוואה ריבועית. פירוש הדבר כי כל אלה הם משוואות מעוקבות:
2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x −9 = 0 \\ x ^ 3 −9x + 1 = 0 \\ x ^ 3 −15x ^ 2 = 0
פתרון באמצעות משפט הגורמים והחטיבה הסינתטית
הדרך הקלה ביותר לפתור משוואה מעוקבת כוללת מעט ניחושים וסוג תהליך אלגוריתמי הנקרא חלוקה סינתטית. ההתחלה, אם כי, היא בעצם זהה לשיטת הניסוי והשגיאה בפתרונות משוואה מעוקבים. נסו להבין מהו אחד השורשים על ידי ניחוש. אם יש לך משוואה שבה המקדם הראשון, א, שווה ל -1, אז קצת יותר קל לנחש את אחד השורשים, מכיוון שהם תמיד גורמים למונח הקבוע המיוצג לעיל על ידי ד.
אז, אם מסתכלים על המשוואה הבאה, למשל:
x ^ 3 - 5x ^ 2 - 2x + 24 = 0
אתה צריך לנחש את אחד הערכים עבור איקס, אך מאז א = 1 במקרה זה אתה יודע שלא משנה מה הערך, זה צריך להיות גורם של 24. הגורם הראשון הוא 1, אך הדבר ישאיר:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
מה שאינו אפס, ו- -1 יעזוב:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
וזה שוב לא אפס. הַבָּא, איקס = 2 ייתן:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
כישלון נוסף. מנסה איקס = −2 נותן:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
זה אומר איקס = −2 הוא שורש של המשוואה הקובית. זה מראה את היתרונות והחסרונות של שיטת הניסוי והשגיאה: אתה יכול לקבל את התשובה בלי הרבה מחשבה, אבל זה גוזל זמן (במיוחד אם אתה צריך ללכת לגורמים גבוהים יותר לפני שתמצא שורש). למרבה המזל, כשמצאת שורש אחד, אתה יכול לפתור את שאר המשוואה בקלות.
המפתח הוא שילוב משפט הגורמים. זה קובע שאם איקס = s הוא פיתרון, ואז (איקס – ס) הוא גורם שניתן לשלוף מהמשוואה. למצב זה, ס = −2, וכך (איקס + 2) הוא גורם שנוכל לצאת ממנו לעזוב:
(x + 2) (x ^ 2 + ax + b) = 0
המונחים בקבוצת הסוגריים השנייה הם בצורת משוואה ריבועית, כך שאם אתה מוצא את הערכים המתאימים א ו ב, ניתן לפתור את המשוואה.
ניתן להשיג זאת באמצעות חלוקה סינתטית. ראשית, רשום את המקדמים של המשוואה המקורית בשורה העליונה של הטבלה, עם קו הפרדה ואז השורש הידוע בצד ימין:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & \\ \ hline & & & & end {array}
השאירו שורה רזרבית אחת ואז הוסיפו קו אופקי מתחתיה. ראשית, קח את המספר הראשון (1 במקרה זה) עד לשורה שמתחת לקו האופקי שלך
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & & & \\ \ hline 1 & & & & end {array }
עכשיו הכפל את המספר שהורדת זה עתה בשורש הידוע. במקרה זה, 1 × −2 = −2, וזה כתוב מתחת למספר הבא ברשימה, כדלקמן:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & \\ \ hline 1 & & & & end {מַעֲרָך}
לאחר מכן הוסיפו את המספרים בעמודה השנייה והניחו את התוצאה מתחת לקו האופקי:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & & \\ \ hline 1 & -7 & & & \ end {מערך}
עכשיו חזור על התהליך שעברת זה עתה עם המספר החדש שמתחת לקו האופקי: הכפל ב שורש, שים את התשובה בחלל הריק בעמודה הבאה ואז הוסף את העמודה כדי לקבל מספר חדש ב- בשורה התחתונה. זה משאיר:
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & &\ \ hline 1 & -7 & 12 & & end {מערך}
ואז לעבור את התהליך בפעם האחרונה.
\ def \ arraystretch {1.5} \ begin {array} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x = -2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \ hline 1 & -7 & 12 & 0 & \ end {מערך}
העובדה שהתשובה האחרונה היא אפס אומרת לך שיש לך שורש חוקי, כך שאם זה לא אפס, אז טעית איפשהו.
כעת, השורה התחתונה מציגה לך את הגורמים של שלושת המונחים בקבוצת הסוגריים השנייה, כך שתוכל לכתוב:
(x ^ 2 - 7x + 12) = 0
וכך:
(x + 2) (x ^ 2 - 7x + 12) = 0
זהו השלב החשוב ביותר בפתרון, ותוכלו לסיים מנקודה זו ואילך בדרכים רבות.
פקטורינג פולינומים מעוקבים
לאחר שהסרת גורם, תוכל למצוא פתרון באמצעות פקטוריזציה. מהשלב לעיל, זו בעצם אותה בעיה כמו פקטור משוואה ריבועית, שיכולה להיות מאתגרת במקרים מסוימים. עם זאת, לביטוי:
(x ^ 2 - 7x + 12)
אם אתה זוכר ששני המספרים שאתה שם בסוגריים צריכים להוסיף כדי לתת את המקדם השני (7) ולהכפיל כדי לתת את השלישי (12), די קל לראות שבמקרה זה:
(x ^ 2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)
אתה יכול להכפיל זאת כדי לבדוק, אם תרצה. אל תרגיש מיואש אם אינך יכול לראות את הפקטוריזציה מיד; זה לוקח קצת תרגול. זה משאיר את המשוואה המקורית כ:
(x + 2) (x - 3) (x - 4) = 0
אשר אתה יכול לראות מיד יש פתרונות ב איקס = -2, 3 ו -4 (כולם גורמים של 24, הקבוע המקורי). בתיאוריה, יתכן שניתן יהיה לראות את כל הפקטוריזציה החל מהגרסה המקורית של המשוואה, אך זה הרבה מאתגר יותר, לכן עדיף למצוא פיתרון אחד מניסוי וטעייה ולהשתמש בגישה שלמעלה לפני שתנסה לאתר פרוק לגורמים.
אם אתה מתקשה לראות את הפקטוריזציה, תוכל להשתמש בנוסחת המשוואה הריבועית:
x = {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 - 4ac} \ מעל {1pt} 2a}
כדי למצוא את הפתרונות שנותרו.
באמצעות הנוסחה הקובית
למרות שהוא הרבה יותר גדול ופחות פשוט להתמודד, יש פותר משוואה מעוקב פשוט בצורת הנוסחה הקובית. זה כמו נוסחת המשוואה הריבועית בכך שאתה פשוט מזין את הערכים שלך א, ב, ג ו ד להשיג פיתרון, אבל הוא פשוט הרבה יותר ארוך.
זה קובע כי:
x = (q + [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + (q - [q ^ 2 + (r − p ^ 2) ^ 3] ^ {1/2}) ^ {1/3} + עמ '
איפה
p = {−b \ מעל {1pt} 3a}
q = p ^ 3 + {bc − 3ad \ מעל {1pt} 6a ^ 2}
ו
r = {c \ מעל {1pt} 3a}
השימוש בנוסחה זו גוזל זמן, אך אם אינך רוצה להשתמש בשיטת הניסוי והשגיאה לפתרונות משוואה מעוקבת ואז בנוסחה הריבועית, זה אכן עובד כשאתה עובר הכל.