כל מי שאי פעם שיחק משחק בריכה מכיר את חוק שימור המומנטום, בין אם הוא מבין זאת ובין אם לאו.
חוק שמירת המומנטום הוא בסיסי בהבנת וניבוי מה קורה כאשר אובייקטים מתקשרים או מתנגשים. החוק הזה מנבא תנועות של כדורי ביליארד והוא שקובע אם אותו כדור שמונה הופך אותו לכיס הפינתי או לא.
מה זה מומנטום?
מומנטום מוגדר כתוצר המסה והמהירות של האובייקט. בצורה משוואת, זה נכתב לעתים קרובות כp = mv.
זוהי כמות וקטורית, כלומר יש לה כיוון המשויך אליה. כיוון וקטור המומנטום של האובייקט זהה לכיוון וקטור המהירות שלו.
המומנטום של מערכת מבודדת הוא סכום המומנטה של כל אובייקט בודד במערכת זו. מערכת מבודדת היא מערכת של אובייקטים אינטראקטיביים שאינם מתקשרים בשום צורה נטו עם שום דבר אחר. במילים אחרות, אין כוח חיצוני נטו הפועל על המערכת.
לימוד המומנטום הכולל במערכת מבודדת חשוב מכיוון שהוא מאפשר לך לחזות מה יקרה לאובייקטים במערכת במהלך התנגשויות ואינטראקציות.
מהם חוקי שימור?
לפני שתתחיל להבין את חוק שמירת המומנטום, חשוב להבין מה הכוונה ב"כמות משומרת ".
לשמר משהו פירושו למנוע בזבוז או אובדן של זה בדרך כלשהי. בפיזיקה, אומרים שכמות נשמרת אם היא נשארת קבועה. יכול להיות ששמעת את הביטוי כשמדובר בשימור האנרגיה, שהוא הרעיון שלא ניתן ליצור ולא להרוס אנרגיה, אלא רק לשנות צורה. מכאן שכמותו הכוללת נשארת קבועה.
כאשר אנו מדברים על שימור המומנטום, אנו מדברים על כמות המומנטום הכוללת שנשארת קבועה. מומנטום זה יכול לעבור מאובייקט אחד למשנהו בתוך מערכת מבודדת ועדיין להיחשב שמור אם המומנטום הכולל במערכת זו אינו משתנה.
חוק התנועה השני של ניוטון וחוק שמירת המומנטום
חוק שימור המומנטום יכול להיות נגזר מחוק התנועה השני של ניוטון. נזכיר כי חוק זה התייחס לכוח נטו, למסה ולהאצה של אובייקט כ-Fנֶטוֹ = אמא.
החוכמה כאן היא לחשוב על הכוח הנקי הזה כפועל על מערכת כולה. חוק שמירת המומנטום חל כאשר הכוח נטו על המערכת הוא 0. המשמעות היא שלכל אובייקט במערכת, הכוחות היחידים שעשויים להיות מופעלים עליו חייבים לבוא מאובייקטים אחרים בתוך המערכת, או אחרת לבטל אותם איכשהו.
כוחות חיצוניים עשויים להיות חיכוך, כוח משיכה או עמידות באוויר. אלה צריכים לא לפעול, או שיש לנטרל אותם כדי להפוך את הכוח הנקי על המערכת ל 0.
אתה יכול להתחיל את הגזירה בהצהרהFנֶטוֹ = ma = 0.
הMבמקרה זה היא המסה של המערכת כולה. התאוצה המדוברת היא האצה נטו של המערכת, שמתייחסת לתאוצה מרכז המסה של המערכת (מרכז המסה הוא המיקום הממוצע של המערכת הכוללת מסה.)
על מנת שהכוח הנקי יהיה 0, אז התאוצה חייבת להיות גם 0. מכיוון שהתאוצה היא שינוי המהירות לאורך זמן, זה מרמז שמהירות לא יכולה להשתנות. במילים אחרות, המהירות היא קבועה. מכאן אנו מקבלים את ההצהרה כיmvס"מ= קבוע.
איפהvס"מהיא מהירות מרכז המסה, הניתנת על ידי הנוסחה:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
אז עכשיו ההצהרה מצטמצמת ל:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ text {קבוע}
זו המשוואה המתארת את שימור המומנטום. כל מונח הוא המומנטום של אחד האובייקטים במערכת, וסכום כל המומנטה חייב להיות קבוע. דרך נוספת לבטא זאת היא באמירה:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
איפה המנויאנימתייחס לערכים ראשוניים וfלערכים סופיים, המתרחשים בדרך כלל לפני ואחרי אינטראקציה כלשהי, כמו התנגשות בין אובייקטים במערכת.
התנגשויות אלסטיות ולא אלסטיות
הסיבה שחוק שימור המומנטום חשוב היא שהוא יכול לאפשר לך לפתור עבור מהירות סופית לא ידועה וכדומה לאובייקטים במערכת מבודדת העלולים להתנגש בכל אחד מהם אַחֵר.
ישנן שתי דרכים עיקריות בהן יכולה להתרחש התנגשות כזו: באופן אלסטי או לא אלסטי.
התנגשות אלסטית לחלוטין היא התנגשות בה עצמים מתנגשים קופצים זה מזה. סוג זה של התנגשות מאופיין בשימור האנרגיה הקינטית. האנרגיה הקינטית של אובייקט ניתנת על ידי הנוסחה:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
אם נשמרת אנרגיה קינטית, סכום האנרגיות הקינטיות של כל האובייקטים במערכת חייב להישאר קבוע לפני ואחרי התנגשויות. שימוש בשימור אנרגיה קינטית יחד עם שימור המומנטום יכול לאפשר לך לפתור יותר ממהירות סופית או ראשונית אחת במערכת מתנגשת.
התנגשות לא אלסטית לחלוטין היא התמודדות שבה כששני עצמים מתנגשים, נדבקים זה לזה ועוברים כמסה יחידה לאחר מכן. זה יכול לפשט גם בעיה מכיוון שאתה צריך רק לקבוע מהירות סופית אחת במקום שתיים.
בעוד המומנטום נשמר בשני סוגי ההתנגשויות, האנרגיה הקינטית נשמרת רק בהתנגשות אלסטית. רוב ההתנגשויות בחיים האמיתיים אינן אלסטיות לחלוטין ואינן אלסטיות לחלוטין, אלא מונחות איפשהו בין לבין.
שימור המומנטום הזוויתי
מה שתואר בסעיף הקודם הוא שמירה על המומנטום הליניארי. ישנו סוג אחר של מומנטום המתאים לתנועה סיבובית הנקרא מומנטום זוויתי.
בדיוק כמו במומנטום ליניארי, גם המומנטום הזוויתי נשמר. המומנטום הזוויתי תלוי במסת האובייקט וכן כמה רחוק המסה הזו מציר סיבוב.
כאשר מחליק דמות מסתובב, תראה אותם מסתובבים מהר יותר כשהם מקרבים את זרועותיהם לגופם. הסיבה לכך היא כי המומנטום הזוויתי שלהם נשמר רק אם מהירות הסיבוב שלהם עולה בפרופורציה עם כמה שהם קרובים את זרועותיהם למרכזם.
דוגמאות לבעיות שימור מומנטום
דוגמה 1:שני כדורי ביליארד בעלי מסה שווה מתגלגלים אחד כלפי השני. האחת נוסעת במהירות התחלתית של 2 מ 'לשנייה והשנייה נוסעת במהירות של 4 מ' לשנייה. אם ההתנגשות שלהם אלסטית לחלוטין, מה המהירות הסופית של כל כדור?
פתרון 1:חשוב לפתור בעיה זו לבחור מערכת קואורדינטות. מכיוון שהכל קורה בקו ישר, ייתכן שתחליט שתנועה ימינה היא חיובית ותנועה שמאלה היא שלילית. נניח שהכדור הראשון נוסע ימינה ב -2 מטר לשנייה. מהירות הכדור השני היא אז -4m / s.
כתוב ביטוי למומנטום הכולל של המערכת לפני ההתנגשות, כמו גם לאנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת לפני ההתנגשות:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
חבר ערכים כדי לקבל ביטוי לכל אחד מהם:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} מ '(2) ^ 2 + \ frac {1} {2} מ' (-4) ^ 2 = 10 מ '
שים לב שמכיוון שלא קיבלת ערכים להמונים, הם נותרו לא ידועים, אם כי שני ההמונים היו זהים, מה שאיפשר הפשטה מסוימת.
לאחר ההתנגשות הביטויים למומנטום ולאנרגיה קינטית הם:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
על ידי הגדרת הערכים ההתחלתיים שווים לערכים הסופיים של כל אחד, תוכל לבטל את ההמונים. לאחר מכן נותרת לכם מערכת של שתי משוואות ושתי כמויות לא ידועות:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ מרמז על v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ מרמז v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
פתרון המערכת באופן אלגברי נותן את הפתרונות הבאים:
v_ {if} = -4 \ text {m / s} v_ {2f} = 2 \ text {m / s}
שימו לב כי מכיוון ששני הכדורים היו בעלי אותה המסה, הם למעשה החליפו מהירויות.
דוגמה 2:מכונית של 1,200 ק"ג שנוסעת מזרחה ב -20 מייל לשעה מתנגשת חזיתית במשאית של 3,000 ק"ג שנוסעת מערבה ב 25 מייל לשעה. שני הרכבים נדבקים זה לזה כשהם מתנגשים. באיזו מהירות סופית הם נעים?
פתרון 2:דבר אחד שיש לציין לגבי הבעיה הספציפית הזו הם היחידות. יחידות ה- SI למומנטום הן קג"מ / ש '. עם זאת, ניתן לך מסה בק"ג ומהירויות במיילים לשעה. שים לב שכל עוד כל המהירויות הן ביחידות עקביות, אין צורך בהמרה. כשתפתור למהירות הסופית, התשובה שלך תהיה במיילים לשעה.
המומנטום הראשוני של המערכת יכול לבוא לידי ביטוי כ:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ פעמים 20 - 3000 \ times 15 = -21,000 \ text {kg} \ times \ text {mph}
המומנטום הסופי של המערכת יכול לבוא לידי ביטוי כ:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
חוק שמירת המומנטום אומר לך שערכים ראשוניים וסופיים אלה צריכים להיות שווים. אתה יכול לפתור את המהירות הסופית על ידי הגדרת המומנטום ההתחלתי שווה למומנטום הסופי, תוך פתרון למהירות הסופית באופן הבא:
4200v_f = -21,000 \ מרמז v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}
דוגמה 3:הראה כי אנרגיה קינטית לא נשמרה בשאלה הקודמת הכרוכה בהתנגשות לא אלסטית בין המכונית למשאית.
פתרון 3:האנרגיה הקינטית הראשונית של אותה מערכת הייתה:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557,500 \ טקסט {ק"ג (קמ"ש)} ^ 2
האנרגיה הקינטית הסופית של המערכת הייתה:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52,500 \ text {kg (mph)} ^ 2
מכיוון שהאנרגיה הקינטית הכוללת הראשונית וסך האנרגיה הקינטית הסופית אינם שווים, ניתן להסיק כי האנרגיה הקינטית לא נשמרה.