התוצר של שתי כמויות סקלריות הוא סקלרי, ותוצר של סקלר עם וקטור הוא וקטור, אבל מה לגבי תוצר של שני וקטורים? האם זה סקלר, או וקטור אחר? התשובה היא שזה יכול להיות גם!
ישנן שתי דרכים להכפיל וקטורים יחד. האחד הוא על ידי לקיחת המוצר הנקודתי שלהם, שמניב סקלר, והשני הוא על ידי לקיחת המוצר הצלב שלהם, שמניב וקטור אחר. איזה מוצר להשתמש תלוי בתרחיש המסוים ובאיזו כמות אתה מנסה למצוא.
המוצר נקודהמכונה לפעמים ה-מוצר סקלריאוֹמוצר פנימי. מבחינה גיאומטרית, אתה יכול לחשוב על מוצר הנקודה בין שני וקטורים כדרך להכפלת ערכי הווקטור הסופרים רק את התרומות באותו כיוון.
- הערה: מוצרי נקודה עשויים להיות שליליים או חיוביים, אך סימן זה אינו אינדיקציה לכיוון. למרות שבמימד אחד, כיוון וקטורי מסומן לעיתים קרובות באמצעות סימן, גם בכמויות סקלריות יכולות להיות קשורות סימנים שאינם אינדיקטורים כיוונים. חוב הוא רק אחת הדוגמאות הרבות לכך.
הגדרת מוצר הנקודה
תוצר הנקודות של הווקטוריםא = (אאיקס, אy)וב = (באיקס, בy)במערכת קואורדינטות קרטזית סטנדרטית מוגדר כדלקמן:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
כאשר לוקחים את המוצר הנקודתי של הווקטור עם עצמו, נוצר קשר מעניין:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
איפה |א| הוא גודל (אורך) שלאעל ידי משפט פיתגורס.
ניתן לגזור נוסחה של מוצר נקודתי אחר באמצעות חוק הקוסינוסים. זה נעשה באופן הבא:
שקול וקטורים שאינם אפסיםאוביחד עם וקטור ההבדל שלהםא - ב. סדר את שלושת הווקטורים ליצירת משולש.
חוק הקוסינוסים מטריגונומטריה אומר לנו כי:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
ובאמצעות ההגדרה של המוצר הנקודתי אנו מקבלים:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
הגדרת שני הביטויים שווים ואז מפשטים, אנו מקבלים:
\ ביטול {| \ bold {a} | ^ 2} + \ ביטול {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ ביטול {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ ביטול {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ טקסט {} \\\ מרמז \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ מודגש {b} | \ cos (\ תטא)}
ניסוח זה מאפשר לאינטואיציה הגאומטרית שלנו להיכנס למשחק. הכמות |א| cos (θ) הוא גודל ההשלכה של הווקטוראעל גבי וקטורב.
אז אנחנו יכולים לחשוב על מוצר הנקודה כהקרנה של וקטור אחד על השני, ואז על תוצר הערכים שלהם. במילים אחרות, ניתן לראות אותו כתוצר של וקטור אחד כשכמות הווקטור השני באותו כיוון כמוהו.
מאפייני מוצר הנקודה
להלן מספר מאפיינים של מוצר הנקודה שעשויים להיות לך שימושיים:
\ # \ טקסט {1. אם} \ theta = 0 \ text {, אז} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
הסיבה לכך היא ש- cos (0) = 1.
\ # \ טקסט {2. אם} \ theta = 180 \ text {, אז} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
הסיבה לכך היא ש- cos (180) = -1.
\ # \ טקסט {3. אם} \ theta = 90 \ text {, אז} \ bold {a \ cdot b} = 0
הסיבה לכך היא כי cos (90) = 0.
- הערה: עבור 0 <
θ
<90, מוצר הנקודה יהיה חיובי, ועבור 90 <
θ
<180, מוצר הנקודה יהיה שלילי.
\ # \ טקסט {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
זאת בעקבות החלת החוק הקומוטטיבי על הגדרת המוצר הנקודתי.
\ # \ טקסט {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
הוכחה:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ טקסט {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
הוכחה:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ מודגש {b}
כיצד למצוא את מוצר הנקודה
דוגמה 1:בפיזיקה, עבודה שנעשתה על ידי כוחFעל אובייקט כשהוא עובר עקירהד, זה מוגדר כ:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
איפה θ הוא הזווית בין וקטור הכוח לווקטור העקירה.
כמות העבודה שנעשתה על ידי כוח מהווה אינדיקציה לכמה אותו כוח תרם לעקירה. אם הכוח באותו כיוון כמו העקירה (cos (θ) = 0), הוא תורם את תרומתו המרבית. אם הוא ניצב לתזוזה (cos (Ѳ) = 90), זה לא תורם כלל. ואם הוא מנוגד לתזוזה, (cos (θ) = 180), זה תורם תרומה שלילית.
נניח שילד דוחף רכבת צעצוע על פני מסילה באמצעות הפעלת כוח של 5 N בזווית של 25 מעלות ביחס לקו המסילה. כמה עבודה עושה הילד ברכבת כשהוא מזיז אותה 0.5 מ '?
פִּתָרוֹן:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ degree \\
באמצעות הגדרת מוצר הנקודה של עבודה, וחיבור ערכים נקבל:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
מהדוגמה הקונקרטית הזו, צריך להיות ברור עוד יותר כי הפעלת כוח בניצב לכיוון העקירה אינה עובדת. אם הילד דחף את הרכבת בזווית ישרה למסילה הרכבת לא תנוע קדימה ולא אחורה לאורך המסילה. זה גם אינטואיטיבי שהעבודה שעושה הילד ברכבת תגדל ככל שהזווית פוחתת והכוח והתזוזה קרובים יותר ליישור.
דוגמה 2:כוח הוא דוגמה נוספת לכמות פיזית שניתן לחשב באמצעות מוצר נקודה. בפיזיקה כוח שווה לעבודה מחולק לפי זמן, אך ניתן לכתוב אותו גם כתוצר הנקודתי של כוח ומהירות כפי שמוצג:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
איפהvהוא מהירות.
שקול את הדוגמה הקודמת של הילד המשחק ברכבת. אם במקום זה נאמר לנו שמופעל אותו כוח שגורם לרכבת לנוע ב -2 מ 'לשנייה במורד המסילה, נוכל להשתמש במוצר הנקודה כדי למצוא את הכוח:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
דוגמה 3:דוגמה נוספת שבה משתמשים במוצרי נקודה בפיזיקה היא במקרה של שטף מגנטי. שטף מגנטי הוא כמות השדה המגנטי העובר באזור נתון. הוא נמצא כתוצר הנקודה של השדה המגנטיבעם האזורא. (כיוון וקטור שטח הואנוֹרמָלִי, או בניצב, לפני השטח.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
נניח ששדה של 0.02 טסלה עובר דרך לולאת חוט ברדיוס 10 ס"מ, מה שהופך זווית של 30 מעלות לנורמלי. מה השטף?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0.02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
כאשר שטף זה משתנה, על ידי שינוי ערך השדה, שינוי אזור הלולאה או שינוי ה- בזווית על ידי סיבוב הלולאה או מקור השדה, הזרם יושרה בלולאה, ויוצר חַשְׁמַל!
שים לב שוב כיצד הזווית רלוונטית באופן אינטואיטיבי. אם הזווית הייתה 90 מעלות, פירוש הדבר שהשדה היה מונח באותו מישור כמו השטח ואף קווי שדה לא יעברו דרך הלולאה, וכתוצאה מכך לא היה שטף. כמות השטף עולה אז ככל שהזווית בין השדה לנורמלי מתקרבת ל 0. מוצר הנקודה מאפשר לנו לקבוע כמה מהשדה בכיוון הרגיל לפני השטח, ולכן הוא תורם לשטף.
הקרנה וקטורית ומוצר הנקודות
בסעיפים קודמים הוזכר כי ניתן לחשוב על מוצר הנקודה כדרך להקרין וקטור אחד על גבי אחר ואז להכפיל את גודלו. ככזה, לא צריך להיות מפתיע שניתן להפיק נוסחה להקרנת וקטור ממוצר הנקודה.
על מנת להקרין וקטוראעל גבי וקטורב, אנו לוקחים את המוצר הנקודתי שלאעםוקטור יחידהבכיוון שלבואז הכפל את התוצאה הסקלרית הזו באותו וקטור יחידה.
וקטור יחידה הוא וקטור באורך 1 השוכן בכיוון מסוים. וקטור היחידה לכיוון הווקטורבהוא פשוט וקטוריבמחולק לפי גודלו:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
אז ההקרנה הזו היא אז:
\ text {הקרנה של} \ bold {a} \ text {אל} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
מוצר הנקודה במימד גבוה יותר
כמו שקטורים קיימים בממד גבוה יותר, כך גם מוצר הנקודות. תארו לעצמכם את הדוגמה של הילד שדוחף את הרכבת שוב. נניח שהיא דוחפת גם כלפי מטה וגם בזווית לצד המסלול. במערכת קואורדינטות רגילה יהיה צורך לייצג את וקטורי הכוח והתזוזה כאל תלת מימד.
בנמידות, מוצר הנקודה מוגדר כדלקמן:
\ bold {a \ cdot b} = \ אוברסיט {n} {\ תת קבוצה {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
כל אותן תכונות של נקודות מוצר קודמות עדיין חלות, וחוק הקוסינוסים נותן שוב את הקשר:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
כאשר גודל כל וקטור נמצא באמצעות הדברים הבאים, שוב עולה בקנה אחד עם משפט פיתגורס:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
כיצד למצוא את מוצר הנקודה בתלת מימד
דוגמה 1:מוצר הנקודה שימושי במיוחד כשצריך למצוא את הזווית בין שני וקטורים. לדוגמא, נניח שאנחנו רוצים לקבוע את הזווית ביןא= (2, 3, 2) ו-ב= (1, 4, 0). גם אם תשרטט את שני הווקטורים האלה ב -3 חללים, זה יכול להיות קשה מאוד לעטוף את הראש סביב הגיאומטריה. אך המתמטיקה היא פשוטה למדי, תוך שימוש בעובדה ש:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ מרמז \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ מודגש {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
ואז מחשב את המוצר הנקודתי שלאוב:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
ומחשב את הגדלים של כל וקטור:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
ולבסוף מחברים הכל, אנו מקבלים:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
דוגמה 2:מטען חיובי יושב בנקודת הקואורדינטות (3, 5, 4) במרחב תלת מימדי. באיזו נקודה לאורך הקו המצביע לכיוון הווקטורא= (6, 9, 5) האם השדה החשמלי הוא הגדול ביותר?
פתרון: מתוך הידע שלנו כיצד חוזק השדה החשמלי מתקשר למרחק, אנו יודעים שהנקודה על הקו הקרוב ביותר למטען החיובי נמצא המיקום בו השדה יהיה הכי חזק. מתוך הידע שלנו על מוצרי נקודה, אנו עשויים לנחש כי שימוש בנוסחת ההקרנה הגיוני כאן. הנוסחה הזו צריכה לתת לנו וקטור שהקצה שלו בדיוק בנקודה שאנחנו מחפשים.
עלינו לחשב:
\ text {הקרנה של} (3, 5, 4) \ טקסט {אל} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
כדי לעשות זאת, ראשית, בואו למצוא |א|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
ואז המוצר הנקודתי:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
מחלק את זה בא|2 נותן 83/142 = 0.585. ואז הכפל את הסקלר הזה באנותן:
0.585 \ מודגש {a} = 0.585 \ פעמים (6,9,5) = (3.51,5.27,2.93)
מכאן הנקודה לאורך הקו בו השדה הוא החזק ביותר היא (3.51, 5.27, 2.93).