פתרון תעלומות האלקטרומגנטיות היה אחד ההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה עד כה, והלקחים שנלמדו נמצאים במלואם במשוואות של מקסוול.
ג'יימס פקיד מקסוול נותן את שמו לארבע המשוואות האלגנטיות הללו, אך הן שיאה של עשורים של עבודה של פיזיקאים רבים, כולל מייקל פאראדיי, אנדרה-מארי אמפר וקרל פרידריך גאוס - המעניקים את שמם לשלוש מתוך ארבע המשוואות - ורבים אחרים. בעוד שמקסוול עצמו הוסיף רק מונח לאחת מארבע המשוואות, היה לו ראיית הנולד וההבנה לאסוף את מיטב העבודה שנעשתה בנושא ולהציג אותם בצורה שעדיין משמשת פיזיקאים היום.
במשך שנים רבות מאוד פיזיקאים האמינו כי חשמל ומגנטיות הם כוחות נפרדים ותופעות מובחנות. אך באמצעות עבודתם הניסויית של אנשים כמו פאראדיי, התברר יותר ויותר שהם למעשה שני צדדים אותה תופעה, והמשוואות של מקסוול מציגות את התמונה המאוחדת הזו שתקפה עד היום כמו שהייתה ב -19 מֵאָה. אם אתה הולך ללמוד פיזיקה ברמות גבוהות יותר, אתה בהחלט צריך לדעת את המשוואות של מקסוול ואיך להשתמש בהן.
המשוואות של מקסוול
המשוואות של מקסוול הן כדלקמן, הן בצורה הדיפרנציאלית והן בצורה האינטגרלית. (שים לב שבעוד שידע של משוואות דיפרנציאליות מועיל כאן, הבנה מושגית אפשרית גם בלעדיה).
חוק גאוס לחשמל
צורה דיפרנציאלית:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
צורה אינטגרלית:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
אין חוק מונופול / חוק גאוס למגנטיות
צורה דיפרנציאלית:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
צורה אינטגרלית:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
חוק ההשראה של פאראדיי
צורה דיפרנציאלית:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
צורה אינטגרלית:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
חוק אמפר-מקסוול / חוק אמפר
צורה דיפרנציאלית:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
צורה אינטגרלית:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
סמלים המשמשים במשוואות של מקסוול
המשוואות של מקסוול משתמשות במבחר גדול למדי של סמלים, וחשוב שתבין מה המשמעות של אלה אם תלמד ליישם אותם. אז הנה פירוט של משמעויות הסמלים המשמשים:
ב= שדה מגנטי
ה= שדה חשמלי
ρ= צפיפות מטען חשמלית
ε0= היתר של שטח פנוי = 8.854 × 10-12 M-3 ק"ג-1 ס4 א2
ש= מטען חשמלי כולל (סכום מטענים חיוביים ומטענים שליליים נטו)
𝜙ב = שטף מגנטי
י= צפיפות זרם
אני= זרם חשמלי
ג= מהירות האור = 2.998 × 108 גברת
μ0 = חדירות שטח פנוי = 4π × 10−7 לא2
בנוסף, חשוב לדעת כי ∇ הוא המפעיל דל, נקודה בין שתי כמויות (איקס ∙ י) מראה מוצר סקלרי, סמל כפל מודגש בין שתי כמויות הוא מוצר וקטורי (איקס × י), כי אופרטור הדל עם נקודה נקרא "סטייה" (למשל, ∇ ∙ איקס= סטייה שלאיקס= divאיקס) ומפעיל דל עם מוצר סקלרי נקרא תלתל (למשל, ∇× י= תלתל שלי= תלתלי). סוף - סוף, האב דאפירושו שטח הפנים של המשטח הסגור אליו אתה מחשב (לפעמים כתוב כ dס), והסב דסהוא חלק קטן מאוד מגבול המשטח הפתוח שאתה מחשב עבורו (אם כי לפעמים זה dl, הכוונה לרכיב קו אינסופי קטן).
גזירת המשוואות
המשוואה הראשונה של משוואות מקסוול היא חוק גאוס, והיא קובעת כי השטף החשמלי נטו דרך a משטח סגור שווה לטעינה הכוללת הכלולה בתוך הצורה חלקי היתר של חינם מֶרחָב. ניתן להפיק חוק זה מחוק קולומב, לאחר נקיטת הצעד החשוב של ביטוי חוק קולומב במונחים של שדה חשמלי וההשפעה שיש לו על טעינת בדיקה.
השנייה במשוואות של מקסוול מקבילה במהותה לאמירה ש"אין מונופולים מגנטיים. " זה קובע שהשטף המגנטי הנקי דרך משטח סגור תמיד יהיה 0, מכיוון ששדות מגנטיים הם תמיד תוצאה של a דיפול. ניתן לגזור את החוק מחוק ביוט-סווארט, המתאר את השדה המגנטי המיוצר על ידי אלמנט זרם.
המשוואה השלישית - חוק האינדוקציה של פאראדיי - מתארת כיצד שדה מגנטי משתנה מייצר מתח בלולאת חוט או מוליך. במקור הוא נגזר מניסוי. עם זאת, לאור התוצאה שזרם מגנטי משתנה גורם לכוח אלקטרומוטורי (EMF או מתח) ובכך זרם חשמלי ב לולאת חוט, ואת העובדה ש- EMF מוגדר כקו האינטגרל של השדה החשמלי סביב המעגל, קל לשים את החוק יַחַד.
המשוואה הרביעית והאחרונה, חוק אמפר (או חוק אמפר-מקסוול שייתן לו קרדיט על שלו תרומה) מתאר כיצד נוצר שדה מגנטי על ידי מטען נע או חשמל מתחלף שדה. החוק הוא תוצאה של ניסוי (וכך - כמו כל המשוואות של מקסוול - לא ממש "נגזר" במובן המסורתי), אלא שימושמשפט סטוקסהוא צעד חשוב בהבאת התוצאה הבסיסית לטופס המשמש כיום.
דוגמאות למשוואות מקסוול: חוק גאוס
אם להיות גלוי לב, במיוחד אם אתה לא בדיוק מעלה את חשבון הווקטור שלך, המשוואות של מקסוול נראות די מרתיעות למרות כמה קומפקטיות יחסית. הדרך הטובה ביותר להבין אותם באמת היא לעבור על כמה דוגמאות לשימוש בהן בפועל, וחוק גאוס הוא המקום הטוב ביותר להתחיל בו. החוק של גאוס הוא בעצם משוואה יותר מהותית שעושה את העבודה של החוק של קולומב, וזהו די קל להפיק ממנו את חוק קולומב על ידי התחשבות בשדה החשמלי שמייצרת נקודה לחייב.
מתקשר לחיובש, נקודת המפתח ליישום חוק גאוס היא בחירת "משטח" נכון לבדיקת השטף החשמלי דרכו. במקרה זה, כדור עובד היטב שיש לו שטח פניםא = 4πר2כי אתה יכול למקד את הכדור על מטען הנקודה. זהו יתרון עצום לפתרון בעיות כאלה מכיוון שאז אינך צריך לשלב שדה משתנה על פני השטח; השדה יהיה סימטרי סביב המטען הנקודתי, ולכן הוא יהיה קבוע על פני שטח הכדור. אז הצורה האינטגרלית:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
יכול לבוא לידי ביטוי כ:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
שים לב שה-השכן השדה החשמלי הוחלף בעוצמה פשוטה, מכיוון שהשדה ממטען נקודה פשוט יתפשט באותה מידה לכל הכיוונים מהמקור. כעת, החלוקה לפי שטח הפנים של הכדור נותנת:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
מכיוון שהכוח קשור לשדה החשמלי על ידיה = F/ש, איפהשהוא חיוב בדיקה,F = qEוכך:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
איפה שנוספו המנויים כדי להבדיל בין שני האישומים. זהו חוק קולומב המוצהר בצורה סטנדרטית, המוצג כתוצאה פשוטה של חוק גאוס.
דוגמאות למשוואות של מקסוול: חוק פאראדיי
החוק של פאראדיי מאפשר לך לחשב את הכוח האלקטרו-מוטורי בלולאת חוט הנובעת משדה מגנטי משתנה. דוגמה פשוטה היא לולאת חוט, עם רדיוסר= 20 ס"מ, בשדה מגנטי הגדל מגודל מבאני = 1 T עדבf = 10 T בחלל ∆t= 5 s - מהו EMF המושרה במקרה זה? הצורה האינטגרלית של החוק כוללת שטף:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
שמוגדר כ:
ϕ = BA \ cos (θ)
החלק המרכזי בבעיה כאן הוא מציאת קצב שינוי השטף, אך מכיוון שהבעיה פשוטה למדי, ניתן להחליף את הנגזרת החלקית ב"שינוי "פשוט בכל כמות. והאינטגרל באמת פירושו רק כוח אלקטרומוטיבי, כך שתוכל לשכתב את חוק האינדוקציה של פאראדיי כ:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}
אם נניח שלולאת החוט תואמת את הנורמה שלה עם השדה המגנטי,θ= 0 ° וכך cos (θ) = 1. זה משאיר:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}
לאחר מכן ניתן לפתור את הבעיה על ידי מציאת ההבדל בין השדה המגנטי ההתחלתי והסופי לבין אזור הלולאה, כדלקמן:
\ התחל {מיושר} \ טקסט {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {align}
זהו מתח קטן בלבד, אך החוק של פאראדיי מוחל באותו אופן ללא קשר.
דוגמאות למשוואות של מקסוול: חוק אמפר-מקסוול
חוק Ampere-Maxwell הוא האחרון במשוואות של Maxwell שתצטרך להחיל על בסיס קבוע. המשוואה חוזרת לחוק אמפר בהעדר שדה חשמלי משתנה, ולכן זו הדוגמה הקלה ביותר שיש לקחת בחשבון. אתה יכול להשתמש בו כדי להפיק את המשוואה לשדה מגנטי הנובע מחוט ישר הנושא זרםאני, והדוגמה הבסיסית הזו מספיקה כדי להראות כיצד משתמשים במשוואה. החוק המלא הוא:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
אך ללא שדה חשמלי משתנה הוא מצמצם ל:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 אני
כעת, כמו בחוק גאוס, אם אתה בוחר מעגל לפני השטח, שבמרכזו לולאת החוט, האינטואיציה מציעה שהשדה המגנטי שנוצר יהיה סימטרי, וכך תוכלו להחליף את האינטגרל במוצר פשוט של היקף הלולאה ועוצמת השדה המגנטי, עֲזִיבָה:
B × 2πr = μ_0 אני
מחלק באמצעות 2πרנותן:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
שהוא הביטוי המקובל לשדה המגנטי במרחקרכתוצאה מחוט ישר הנושא זרם.
גלים אלקטרומגנטיים
כשמקסוול הרכיב את מערך המשוואות שלו, הוא החל למצוא פתרונות להן שיסייעו בהסבר על שונות תופעות בעולם האמיתי, והתובנה שהיא נתנה לאור היא אחת התוצאות החשובות ביותר שהוא הושג.
מכיוון ששדה חשמלי משתנה מייצר שדה מגנטי (על פי חוק אמפר) ושדה מגנטי משתנה יוצר שדה חשמלי (על פי חוק פאראדיי), מקסוול הסתבר שגל אלקטרומגנטי המתפשט בעצמו עשוי להיות אפשרי. הוא השתמש במשוואות שלו כדי למצוא את משוואת הגל שתתאר גל כזה וקבע שהוא ינוע במהירות האור. זה היה רגע מסוג "יוריקה"; הוא הבין שאור הוא סוג של קרינה אלקטרומגנטית, שעובד בדיוק כמו השדה שדמיין!
גל אלקטרומגנטי מורכב מגל שדה חשמלי וגל שדה מגנטי המתנודד קדימה ואחורה, מיושר בזווית ישרה זה לזה. התנודה של החלק החשמלי של הגל מייצרת את השדה המגנטי, והתנודה של חלק זה בתורו מייצרת שדה חשמלי שוב, הלאה והלאה בזמן שהוא עובר בחלל.
כמו כל גל אחר, לגל אלקטרומגנטי יש תדר ואורך גל, והתוצר של אלה תמיד שווה לג, מהירות האור. גלים אלקטרומגנטיים נמצאים סביבנו, כמו גם אור גלוי, אורכי גל אחרים מכונים בדרך כלל גלי רדיו, מיקרוגל, אינפרא אדום, אולטרה סגול, קרני רנטגן וקרני גמא. לכל הצורות הללו של קרינה אלקטרומגנטית אותה צורה בסיסית כפי שהוסברה על ידי משוואות מקסוול, אך האנרגיות שלהן משתנות עם התדר (כלומר, תדר גבוה יותר פירושו אנרגיה גבוהה יותר).
אז עבור פיזיקאי היה זה מקסוול שאמר, "שיהיה אור!"