מה הנוסחה של חוק הקוסינים?

חוק הקוסינים

a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)

cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}

פתרון לצד

a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)

החלף את הערכים של שני הצדדים הידועים ואת הזווית ביניהם לנוסחה. אם למשולש שלך יש צדדים ידועיםבוגהמודדים 5 יחידות ו -6 יחידות בהתאמה, והזווית ביניהן נמדדת ב -60 מעלות (מה שעשוי להתבטא גם ברדיאנים כ- π / 3), תהיה לכם:

a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)

השתמש בטבלה או במחשבון שלך כדי לחפש את הערך של הקוסינוס; במקרה זה, cos (60) = 0.5, נותן לך את המשוואה:

a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0.5

לפשט את התוצאה של שלב 2. זה נותן לך:

a ^ 2 = 25 + 36 - 30

אשר בתורו מפשט ל:

a ^ 2 = 31

קח את השורש הריבועי של שני הצדדים כדי לסיים את הפתרוןא. זה משאיר אותך עם:

a = \ sqrt {31}

בעוד שאתה יכול להשתמש בתרשים או במחשבון שלך כדי לאמוד את הערך של √31 (זה 5.568), לעתים קרובות אתה רשאי - ואף מעודד - להשאיר את התשובה בצורה הרדיקלית המדויקת יותר.

פותר זווית

\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}

החלף את הערכים הידועים - בסוג זה של בעיה, כלומר אורכיהם של כל שלושת צלע המשולש - למשוואה. כדוגמה, תן לצידי המשולש שלך להיותא= 3 יחידות,ב= 4 יחידות וג= 25 יחידות. אז המשוואה שלך הופכת ל:

\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}

לאחר שתפשט את המשוואה המתקבלת, יהיה לך:

\ cos (C) = \ frac {0} {24}

או פשוט cos (ג​) = 0.

חשב את הקוסינוס ההפוך או קוסינוס הקשת של 0, המצוין לעתים קרובות כ- cos^-1(0). או, במילים אחרות, באיזו זווית יש קוסינוס 0? יש למעשה שתי זוויות שמחזירות ערך זה: 90 מעלות ו -270 מעלות. אך בהגדרה אתה יודע שכל זווית במשולש חייבת להיות פחות מ -180 מעלות, כך שמשאירה רק 90 מעלות כאופציה.

אז מדד הזווית החסרה שלך הוא 90 מעלות, מה שאומר שבמקרה אתה מתמודד עם משולש נכון, אם כי שיטה זו עובדת גם עם משולשים שאינם נכונים.