כיצד למצוא את תקופת הפונקציה

כשאתה משרטט פונקציות טריגונומטריות, אתה מגלה שהן תקופתיות; כלומר הם מייצרים תוצאות החוזרות על עצמן כצפוי. כדי למצוא את התקופה של פונקציה נתונה, אתה צריך היכרות מסוימת עם כל אחת ואיך וריאציות השימוש בהן משפיעות על התקופה. לאחר שתזהה כיצד הם עובדים, תוכל לבחור פונקציות טריג ולמצוא את התקופה ללא בעיות.

TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)

תקופת הפונקציות הסינוס והקוסינוס היא 2π (pi) רדיאנים או 360 מעלות. עבור פונקציית המשיק, התקופה היא π רדיאנים או 180 מעלות.

כאשר אתה מתווה אותם בגרף, הפונקציות הטריגונומטריות מייצרות צורות גל שחוזרות על עצמן באופן קבוע. כמו כל גל, לצורות יש מאפיינים ניתנים לזיהוי כמו פסגות (נקודות שיא) ושפלות (נקודות שפל). התקופה מציגה את "המרחק" הזוויתי של מחזור אחד מלא של הגל, הנמדד בדרך כלל בין שתי פסגות או שוקות סמוכות. מסיבה זו, במתמטיקה, אתה מודד את תקופת הפונקציה ביחידות זווית. לדוגמא, החל בזווית של אפס, פונקציית הסינוס מייצרת עקומה חלקה שעולה למקסימום 1 ברדיאנים π / 2 (90 מעלות), חוצה אפס ברדיאנים π (180 מעלות), פוחתת למינימום -1 ב 3π / 2 רדיאנים (270 מעלות) ומגיעה שוב לאפס ברדיאנים 2π (360 מעלות). לאחר נקודה זו, המחזור חוזר ללא הגבלת זמן, ומייצר את אותן תכונות וערכים כאשר הזווית עולה בחיוב

לפונקציות הסינוס והקוסינוס תקופה של 2π רדיאנים. פונקציית הקוסינוס דומה מאוד לסינוס, אלא שהיא "לפני" הסינוס על ידי π / 2 רדיאנים. פונקציית הסינוס לוקחת את הערך של אפס באפס מעלות, כאשר הקוסינוס הוא 1 באותה נקודה.

אתה מקבל את פונקציית המשיק על ידי חלוקת סינוס על ידי קוסינוס. תקופתו היא π רדיאנים או 180 מעלות. גרף המשיק (איקס) הוא אפס בזווית אפס, מתעקל כלפי מעלה, מגיע ל -1 ברדיאנים π / 4 (45 מעלות), ואז מתעקל שוב כלפי מעלה כאשר הוא מגיע לנקודת חלוקה-אפס ברדיאנים π / 2. לאחר מכן הפונקציה הופכת לאינסוף שלילי ומתחקה אחר תמונת מראה מתחת ל y הציר, מגיע ל -1 ברדיאנים 3π / 4 וחוצה את y ציר ברדיאנים π. למרות שכן איקס ערכים שבהם היא הופכת ללא מוגדרת, לפונקציה המשיקה יש עדיין תקופה הניתנת להגדרה.

שלושת פונקציות הטריג האחרות, cosecant, secant ו- cotangent, הן ההדדיות של sinus, cosine ו- tangent בהתאמה. במילים אחרות, cosecant (איקס) הוא 1 / חטא (איקס), secant (איקס) = 1 / cos (איקס) ועריסה (איקס) = 1 / שזוף (איקס). למרות שלגרפים שלהם יש נקודות לא מוגדרות, התקופות של כל אחת מהפונקציות הללו זהות לסינוס, לקוסינוס ולמשיק.

על ידי הכפלת ה- איקס בפונקציה טריגונומטרית על ידי קבוע, אתה יכול לקצר או להאריך את תקופתו. לדוגמא, עבור הפונקציה sin (2_x_), התקופה היא מחצית מהערך הרגיל שלה, מכיוון שהוויכוח איקס מוכפל. הוא מגיע למקסימום הראשון שלו ב- π / 4 רדיאנים במקום π / 2, ומשלים מחזור מלא ברדיאנים π. גורמים אחרים שאתה בדרך כלל רואה עם פונקציות טריג כוללים שינויים בשלב והמשרעת, כאשר השלב מתאר שינוי ל נקודת המוצא בגרף, והמשרעת היא הערך המרבי או המינימלי של הפונקציה, תוך התעלמות מהסימן השלילי במינימום. הביטוי, 4 × sin (2_x_ + π), למשל, מגיע ל -4 במקסימום שלו, בגלל המכפיל 4, ומתחיל בעיקול כלפי מטה במקום כלפי מעלה בגלל הקבוע π שנוסף לתקופה. שימו לב שלא קבצי 4 וגם π אינם משפיעים על תקופת הפונקציה, רק על נקודת המוצא שלה ועל הערכים המקסימליים והמינימליים.