כיצד למצוא את הגורם הנפוץ ביותר של שני מספרים

מציאת הגורם המשותף הגדול ביותר, או GCF, של שני מספרים שימושי במצבים רבים במתמטיקה, אך במיוחד כשמדובר בפשט שברים. אם אתה נאבק בזה או למצוא מכנים משותפים, לימוד שתי שיטות למציאת גורמים משותפים יעזור לך להשיג את מה שאתה מתכוון לעשות. ראשית, עם זאת, מומלץ ללמוד על יסודות הגורמים; לאחר מכן תוכל לבדוק שתי גישות למציאת גורמים משותפים. לבסוף, תוכלו לבדוק כיצד ליישם את הידע שלכם כדי לפשט שבר.

גורמים הם המספרים שאתה מכפיל יחד כדי לייצר מספר נוסף. לדוגמא, 2 ו- 3 הם גורמים של 6, מכיוון ש -2 × 3 = 6. באופן דומה, 3 ו- 3 הם גורמים של 9, מכיוון ש -3 × 3 = 9. כפי שאתה אולי יודע, מספרים ראשוניים הם מספרים שאין להם גורמים מלבד עצמם ו- 1. אז 3 הוא מספר ראשוני, מכיוון ששני המספרים השלמים היחידים (מספרים שלמים) שיכולים להכפיל יחד כדי לתת 3 כתשובה הם 3 ו- 1. באותו אופן, 7 הוא מספר ראשוני, וכך גם 13.

מסיבה זו, לעתים קרובות מועיל לפרק מספר ל"גורמים ראשוניים ". פירוש הדבר למצוא את כל גורמי המספרים הראשוניים של מספר אחר. זה בעצם מפרק את המספר ל"אבני הבניין "הבסיסיות שלו, וזה צעד שימושי לעבר מציאת הגורם המשותף הגדול ביותר של שני מספרים והוא גם לא יסולא בפז בכל הנוגע לפשט הריבוע שורשים.

השיטה הפשוטה ביותר למציאת הגורם המשותף הגדול ביותר של שני מספרים היא פשוט לרשום את כל הגורמים של כל מספר ולחפש את המספר הגבוה ביותר ששניהם חולקים. דמיין שאתה רוצה למצוא את הגורם המשותף הגבוה ביותר בין 45 ל 60. ראשית, התבונן במספרים השונים שתוכל להכפיל יחד כדי לייצר 45.

הדרך הקלה ביותר להתחיל היא בשניים שאתה יודע שיעבדו, אפילו למספר ראשוני. במקרה זה אנו יודעים 1 × 45 = 45, ולכן אנו יודעים ש -1 ו 45 הם גורמים של 45. אלה הגורמים הראשונים והאחרונים של 45, כך שתוכל פשוט למלא משם. לאחר מכן, בדקו האם 2 הוא גורם. זה קל, מכיוון שכל מספר זוגי יהיה מתחלק ב -2, וכל מספר אי זוגי לא. אז אנו יודעים ש -2 אינו גורם של 45. מה עם 3? אתה אמור להיות מסוגל לזהות ש -3 הוא גורם 45, כי 3 × 15 = 45 (אתה תמיד יכול לבנות על מה שאתה דע לעבוד על זה, למשל, תדע ש -3 × 12 = 36, והוספת שלשות לזה מובילה אותך 45).

לאחר מכן, האם 4 הוא גורם של 45? לא - אתה יודע 11 × 4 = 44, אז זה לא יכול להיות! לאחר מכן, מה לגבי 5? זהו עוד קל, מכיוון שכל מספר שמסתיים ב- 0 או 5 מתחלק ב -5. ועם זה, אתה יכול בקלות לזהות את זה 5 × 9 = 45. אבל 6 לא טוב כי 7 × 6 = 42 ו- 8 × 6 = 48. מכאן אתה יכול גם לראות ש -7 ו- 8 אינם גורמים של 45. אנחנו כבר יודעים ש- 9 הוא, וקל לראות ש -10 ו -11 אינם גורמים. המשך בתהליך זה, ותבחין כי 15 הוא גורם, אך שום דבר אחר אינו.

אז הגורמים של 45 הם: 1, 3, 5, 9, 15 ו -45.

במשך 60, אתה עובר את אותו תהליך בדיוק. הפעם המספר הוא שווה (כך שתדעו 2 הוא גורם) ומחולק ב -10 (כך ש -5 ו -10 הם שני הגורמים), מה שמקל על הדברים. לאחר שתעבור את התהליך שוב, עליך לראות שהגורמים של 60 הם: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ו- 60.

בהשוואה בין שתי הרשימות עולה כי 15 הוא הגורם הנפוץ הגדול ביותר בין 45 ל -60. שיטה זו יכולה לקחת זמן רב, אך היא פשוטה והיא תמיד תעבוד. אתה יכול גם להתחיל מכל גורם משותף גבוה שתוכל לזהות מיד, ואז פשוט לחפש גורמים גבוהים יותר מכל מספר.

השיטה השנייה למציאת ה- GCF לשני מספרים היא שימוש בגורמים ראשוניים. תהליך הגורם העיקרי הוא מעט קל יותר ומובנה יותר ממציאת כל גורם. בואו נעבור את התהליך במשך 42 ו -63.

תהליך הגורם העיקרי כולל בעצם פירוק המספר עד שנשארים רק עם מספרים ראשוניים. עדיף להתחיל עם הפריים הכי קטן (שניים) ולעבוד משם. אז עבור 42, קל לראות ש -2 × 21 = 42. ואז עבוד מ 21: האם 2 גורם? לא. האם 3? כן! 3 × 7 = 21, ו- 3 ו- 7 שניהם מספרים ראשוניים. המשמעות היא שהגורמים העיקריים של 42 הם 2, 3 ו -7. ה"הפסקה "הראשונה השתמשה 2 כדי להגיע ל 21, והשנייה פירקה את זה ל 3 ו 7. אתה יכול לבדוק את זה על ידי הכפלת כל הגורמים שלך יחד ובדיקה שאתה מקבל את המספר המקורי: 2 × 3 × 7 = 42.

עבור 63, 2 אינו גורם, אבל 3 הוא, כי 3 × 21 = 63. שוב, 21 מתפרק ל -3 ו -7 - שניהם ראשוניים - אז אתה יודע את הגורמים העיקריים! בדיקה מראה כי 3 × 3 × 7 = 63, כנדרש.

אתה מוצא את הגורם המשותף הגבוה ביותר על ידי הסתכלות אילו גורמים ראשוניים משותפים לשני המספרים. במקרה זה, 42 יש 2, 3 ו -7, ול -63 יש 3, 3 ו -7. יש להם 3 ו -7 במשותף. כדי למצוא את הגורם המשותף הגבוה ביותר, הכפל את כל הגורמים העיקריים המשותפים יחד. במקרה זה, 3 × 7 = 21, לכן 21 הוא הגורם הנפוץ ביותר של 42 ו -63.

ניתן לפתור את הדוגמה הקודמת בצורה מהירה יותר בדרך זו. מכיוון ש- 45 מתחלק בשלושה (3 × 15 = 45), ו- 15 גם מתחלק בשלושה (3 × 5 = 15), הגורמים העיקריים של 45 הם 3, 3 ו -5. עבור 60, זה מתחלק בשניים (2 × 30 = 60), 30 מתחלק גם בשניים (2 × 15 = 30) ואז נשארת עם 15, שלדעתנו יש שלושה וחמישה כגורמים ראשוניים, עוזבים 2, 2, 3 ו -5. בהשוואה בין שתי הרשימות, שלוש וחמש הן הגורמים העיקריים הנפוצים, ולכן הגורם המשותף הגדול ביותר הוא 3 × 5 = 15.

במקרה שיש שלושה גורמים ראשוניים נפוצים או יותר, מכפילים את כולם יחד באותו אופן כדי למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר.

אם מוצגת בפניכם שבר כמו 32/96, זה יכול להפוך את כל החישובים שמגיעים אחריו למורכבים מאוד, אלא אם כן תוכלו לזהות דרך לפשט את השבר. מציאת הגורם המשותף הנמוך ביותר של 32 ו- 96 יגיד לך את המספר שיש לחלק את שניהם, כדי לקבל חלק פשוט יותר. במקרה הזה:

עבור 96, התהליך נותן:

צריך להיות ברור ש -2⁵ = 32 הוא הגורם הנפוץ ביותר. חלוקת שני חלקי השבר ב- 32 נותנת:

מציאת מכנים משותפים היא תהליך דומה. דמיין שעליך להוסיף את השברים 15/45 ו- 40/60. ידוע לנו מהדוגמה הראשונה ש 15 הוא הגורם הנפוץ הגבוה ביותר בין 45 ל 60, כך שנוכל להביע אותם מיד כ 5/15 ו- 10/15. מכיוון ש -3 × 5 = 15, ושני המננים מתחלקים גם בחמישה, אנו יכולים לחלק את שני החלקים של שני השברים בחמישה כדי לקבל 1/3 ו -2 / 3. עכשיו הרבה יותר קל להוסיף ולראות את זה