מעגלים נמצאים בכל מקום בעולם האמיתי, ולכן הרדיוסים, הקוטר וההיקף שלהם הם משמעותיים ביישומים בחיים האמיתיים. אך ישנם חלקים אחרים של מעגלים - מגזרים וזוויות, למשל - שיש להם חשיבות גם ביישומים יומיומיים. דוגמאות לכך כוללות גדלי מגזר של אוכל מעגלי כמו עוגות ופשטידות, הזווית שעברה בגלגל ענק, גודל הצמיג לרכב מסוים ובמיוחד גודל הטבעת להתקשרות או חֲתוּנָה. מסיבות אלו ויותר, יש בגיאומטריה גם משוואות וחישובי בעיה העוסקים בזוויות מרכזיות, בקשתות ובמגזרים במעגל.
מהי הזווית המרכזית?
הזווית המרכזית מוגדרת כזווית שנוצרת על ידי שתי קרניים או רדיוסים המקרינים ממרכז מעגל, כאשר מרכז המעגל הוא קודקוד הזווית המרכזית. זוויות מרכזיות רלוונטיות במיוחד כשמדובר בחלוקה שווה של פיצה, או כל אוכל אחר המבוסס על מעגל, בין מספר מוגדר של אנשים. נגיד שיש חמישה אנשים במפגש שבו יש לחלוק פיצה גדולה ועוגה גדולה. מהי הזווית בה צריך לחלק גם את הפיצה וגם את העוגה כדי להבטיח פרוסה שווה לכולם? מכיוון שיש 360 מעלות במעגל, החישוב הופך ל -360 מעלות חלקי 5 כדי להגיע ל 72 מעלות, כך שלכל פרוסה, בין אם מהפיצה או מהעוגה, תהיה זווית מרכזית, או תטא (θ), בגודל 72 מעלות.
קביעת הזווית המרכזית מאורך הקשת
קשת המעגל מתייחסת ל"חלק "מהיקף המעגל. אורך הקשת הוא אפוא אורכו של אותו "חלק". אם אתה מדמיין נתח פיצה, אזור המגזר יכול להיות דמיינו את כל פרוסת הפיצה, אך אורך הקשת הוא אורך הקצה החיצוני של הקרום לשם כך פרוסה מסוימת. מאורך הקשת ניתן לחשב את הזווית המרכזית. אכן, נוסחה אחת שיכולה לסייע בקביעת הזווית המרכזית קובעת שאורך הקשת שווה לרדיוס כפול הזווית המרכזית, או
s = r × θ
כאשר הזווית, תטא, חייבת להימדד ברדיאנים. אז כדי לפתור את הזווית המרכזית, תטא, צריך רק לחלק את אורך הקשת ברדיוס, או
\ frac {s} {r} = θ
לשם המחשה, אם אורך הקשת הוא 5.9 והרדיוס הוא 3.5329, אז הזווית המרכזית הופכת ל -1.67 רדיאנים. דוגמא נוספת היא שאם אורך הקשת הוא 2 והרדיוס הוא 2, הזווית המרכזית הופכת לרדיאן אחד. אם ברצונך להמיר רדיאנים למעלות, זכור כי רדיאן אחד שווה 180 מעלות חלקי π, או 57.2958 מעלות. לעומת זאת, אם משוואה מבקשת להמיר מעלות בחזרה לרדיאנים, הכפל תחילה ב- π, ואז חלק עם 180 מעלות.
קביעת הזווית המרכזית מאזור המגזר
נוסחה שימושית נוספת לקביעת זווית מרכזית מספקת אזור המגזר, ששוב ניתן לדמיין כפרוסת פיצה. ניתן לראות את הנוסחה הספציפית הזו בשתי דרכים. לראשונה יש את הזווית המרכזית הנמדדת במעלות כך ששטח המגזר יהיה שווה ל- π פי בריבוע רדיוס ואז מוכפל בכמות הזווית המרכזית במעלות חלקי 360 מעלות. במילים אחרות:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {זווית מרכזית במעלות}} {360 \ text {מעלות}} = \ טקסט {אזור מגזר}
אם הזווית המרכזית נמדדת ברדיאנים, הנוסחה במקום זאת הופכת להיות:
\ text {אזור מגזר} = r ^ 2 × \ frac {\ text {זווית מרכזית ברדיאנים}} {2}
סידור מחדש של הנוסחאות יעזור לפתור את ערך הזווית המרכזית, או התטא. קחו שטח מגזר של 52.3 ס"מ רבוע ברדיוס של 10 ס"מ. מה תהיה הזווית המרכזית שלה במעלות? החישובים יתחילו בשטח מגזר של 52.3 ס"מ רבוע השווה ל:
\ frac {θ} {360 \ text {מעלות}} × πr ^ 2
מאז הרדיוס (ר) שווה ל- 10, ניתן לכתוב את המשוואה כולה כ:
\ frac {52.3} {100π} × 360
כך שניתן לכתוב את התטא כ:
\ frac {52.3} {314} × 360
כך התשובה הסופית הופכת לזווית מרכזית של 60 מעלות.
