משוואות מתמטיקה לנפח ושטח

למוצקים תלת מימדיים כגון כדורים וקונוסים יש שתי משוואות בסיסיות לחישוב הגודל: נפח ושטח פנים. עוצמת הקול מתייחסת לכמות השטח שהמוצק ממלא ונמדדת ביחידות תלת מימד כמו קוב או סנטימטרים מעוקבים. שטח הפנים מתייחס לשטח הרשת של פני המוצק ונמדד ביחידות דו ממדיות כמו סנטימטרים מרובעים או סנטימטרים מרובעים.

מנסרה מלבנית היא צורה תלת מימדית שחתכי רוחביה תמיד מלבניים. לפריזמה מלבנית יש שישה צדדים, אחד מהם מזוהה כבסיס. דוגמאות למנסרות מלבניות כוללות קוביות לגו וקוביות של רוביק. נפח פריזמה מלבנית ניתן בשתי משוואות: V = (שטח הבסיס) * (גובה) ו- V = (אורך) * (רוחב) * (גובה). שטח הפנים של פריזמה מלבנית הוא סכום השטח של שש פניו: שטח הפנים = 2_l_w + 2_w_h + 2_l_h.

כדור הוא האנלוג התלת מימדי של מעגל: מכלול הנקודות במרחב התלת מימדי הנמצא מרחק מסוים מנקודה מרכזית (מרחק זה נקרא רדיוס). המשוואה לנפח כדור היא V = (4/3) πr ^ 3, כאשר r הוא רדיוס הכדור. פני השטח הם של כדור הניתן על ידי המשוואה S.A. = 4πr ^ 2.

גליל הוא צורה תלת ממדית הנוצרת על ידי עיגולים מקבילים מקבילים (פחית מרק היא גליל של העולם האמיתי). נפח הגליל ניתן על ידי הכפלת שטח מעגל הבסיס בגובה הצילינדר, מה שמביא למשוואה V = πr ^ 2 * h, כאשר r הוא הרדיוס ו- h הוא הגובה. שטח הפנים של הצילינדר נמצא על ידי הוספת שטח העיגולים היוצרים את המכסה ואת בסיס הבסיס גליל לאזור ה"תווית "המלבנית של גוף הצילינדר, שגובהו h ובסיסו 2πr כאשר לא עטוף. המשוואה לשטח הפנים היא אפוא 2πr ^ 2 + 2πrh.

חרוט הוא מוצק תלת מימדי שנוצר על ידי התחדדות דפנות הגליל כדי ליצור נקודה בחלקו העליון (חשוב על חרוט גלידה). הפחתת הנפח הנגרמת על ידי ההתחדדות הזו גורמת לקונוס שיש בו בדיוק שליש מהנפח של גליל עם אותם מידות, וכתוצאה מכך משוואת נפח החרוט: V = (1/3) πr ^ 2h.

את המשוואה לשטח הפנים של חרוט קשה יותר לחישוב. שטח בסיס החרוט ניתן על ידי הנוסחה לאזור המעגל, A = πr ^ 2. גוף החרוט יוצר מגזר של מעגל כאשר לא נעטף. שטח מגזר זה ניתן על ידי הנוסחה A = πrs, כאשר s הוא הגובה המשופע של החרוט (אורך מנקודת החרוט לבסיס לאורך הצד). המשוואה לשטח הפנים היא לכן שטח פנים = πr ^ 2 + πrs.