הבנתך את פעולות המפתח במתמטיקה מבססת את הבנתך את הנושא כולו. אם אתה מלמד סטודנטים צעירים או סתם לומד מחדש מתמטיקה אלמנטרית, מעבר על יסודות יכול להועיל מאוד. רוב החישובים שתצטרכו לעשות כרוכים בכפל בדרך כלשהי, וההגדרה "תוספת חוזרת" באמת עוזרת לבסס את המשמעות של הכפלת משהו בראשכם. אתה יכול גם לחשוב על התהליך מבחינת תחומים. תכונת הכפל של שוויון מהווה גם חלק מרכזי באלגברה, ולכן יכול להיות שימושי לעבור גם ברמות גבוהות יותר. הכפל באמת מתאר רק חישוב כמה בסופו של דבר יש לך כמות מוגדרת של "קבוצות" של מספר מסוים. כשאומרים 5 × 3 אתה אומר "מה הסכום הכולל הכלול בחמש קבוצות של שלוש?"
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
הכפל מתאר את התהליך של הוספת מספר אחד לעצמו שוב ושוב. אם יש לך 5 × 3, זו דרך אחרת לומר "חמש קבוצות של שלוש", או שווה ערך, "שלוש קבוצות של חמש." אז זה אומר:
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 = 15
תכונת הכפל של השוויון קובעת כי הכפלת שני צדי המשוואה באותו מספר מייצרת משוואה תקפה אחרת.
כפל כתוספת חוזרת
הכפל מתאר ביסודו את תהליך ההוספה החוזרת. מספר אחד יכול להיחשב בגודל "הקבוצה", והשני אומר לך כמה קבוצות יש. אם יש חמש קבוצות של שלוש תלמידים, תוכל למצוא את מספר התלמידים הכולל באמצעות:
\ text {מספר כולל} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
היית מסתדר ככה אם רק תספור את התלמידים ביד. הכפל הוא למעשה רק דרך קצרה לכתוב את התהליך הזה:
כך:
\ text {מספר כולל} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 = 15
מורים המסבירים את הרעיון לתלמידי כיתות ג 'או תלמידי בית ספר יסודי יכולים להשתמש בגישה זו כדי לסייע במלט את משמעות המושג. כמובן, לא משנה לאיזה מספר קוראים לך "גודל הקבוצה" ולאיזה מספר אתה קורא "מספר הקבוצות" מכיוון שהתוצאה זהה. לדוגמה:
5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
כפל ואזורי הצורות
הכפל הוא לב ההגדרות לאזורי הצורות. למלבן צד אחד קצר יותר וצד אחד ארוך יותר, ושטחו הוא כמות השטח הכוללת שהוא תופס. יש לו יחידות אורך2, למשל, אינץ '2, סנטימטר2, מטר2 או רגל2. לא משנה מהי היחידה, התהליך זהה. יחידת שטח אחת מתארת ריבוע קטן עם צלעות באורך של יחידת אורך אחת.
עבור המלבן, הצד הקצר תופס שטח מסוים, נניח 10 סנטימטרים. 10 סנטימטרים אלה חוזרים על עצמם שוב ושוב כשמתקדמים בצד הארוך יותר של המלבן. אם הצד הארוך יותר נמדד 20 ס"מ, השטח הוא:
\ התחל {מיושר} \ טקסט {אזור} & = \ טקסט {רוחב} × \ טקסט {אורך} \\ & = 10 \ טקסט {ס"מ} × 20 \ טקסט {ס"מ} = 200 \ טקסט {ס"מ} ^ 2 \ סוף {מיושר}
עבור ריבוע, אותו חישוב עובד, למעט הרוחב והאורך הם באמת אותו מספר. הכפלת אורך הצד כשלעצמה ("בריבוע" אותו) נותנת לך את האזור.
עבור צורות אחרות, הדברים נעשים קצת יותר מסובכים, אך הם תמיד כרוכים באותו רעיון מפתח זה או אחר.
מאפיין הכפל של שוויון ומשוואות
תכונת הכפל של השוויון קובעת שאם מכפילים את שני צדי המשוואה באותה הכמות, המשוואה עדיין מתקיימת. אז זה אומר אם:
a = ב
לאחר מכן
ac = bc
בעזרת זה ניתן לפתור בעיות אלגברה. שקול את המשוואה:
\ frac {x} {c} = \ frac {12} {c}
זה בלתי אפשרי לפתוראיקסישירות כי אתה לא יודעגאו, אך באמצעות התכונה הכפולה של שוויון, אתה יכול להכפיל את שני הצדדים בגולכתוב:
\ frac {xc} {c} = \ frac {12c} {c}
כך
x = 12
סידור משוואות מחדש עובד בצורה דומה. דמיין שיש לך את המשוואה:
\ frac {x} {bc} = ד
אבל רוצה ביטוי לאיקסלבד. הכפלת שני הצדדים בלִפנֵי הַסְפִירָהמשיג זאת:
\ frac {xbc} {bc} = dbc \\ x = dbc
אתה יכול גם להשתמש בו כדי לפתור בעיות בהן עליך להסיר כמות אחת:
\ frac {x} {3} = 9
הכפל את שני הצדדים בשלושה כדי להשיג:
\ frac {3x} {3} = 9 × 3 \\ x = 27