אלגברה מלאה בדפוסים חוזרים שתוכלו לפתור לפי חשבון בכל פעם. אך מכיוון שדפוסים אלה נפוצים כל כך, יש בדרך כלל נוסחה כלשהי שתסייע להקל על החישובים. הקוביה של בינומה היא דוגמה מצוינת: אם היית צריך לעבוד על זה כל פעם, היית משקיע זמן רב בעפרון ונייר. אבל ברגע שאתה יודע את הנוסחה לפתרון קוביה זו (וכמה טריקים שימושיים לזכירה שלה), מציאת התשובה שלך היא פשוטה כמו חיבור המונחים הנכונים לחריצים המשתנים הנכונים.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
הנוסחה לקוביה של בינומי (א + ב) הוא:
(א + ב)3 = א3 + 3_a_2ב + 3_ab_2 + ב3
חישוב הקוביה של בינומיאל
אין צורך להיכנס לפאניקה כשאתה רואה בעיה כמו (a + b)3 מלפנייך. לאחר שתפרק אותו למרכיביו המוכרים, הוא יתחיל להיראות כמו בעיות מוכרות יותר במתמטיקה שעשית בעבר.
במקרה זה, זה עוזר לזכור את זה
(a + b)3
זהה ל
(a + b) (a + b) (a + b), שאמורים להראות הרבה יותר מוכרים.
אבל במקום לעבוד על המתמטיקה מאפס בכל פעם, תוכלו להשתמש ב"קיצור הדרך "של נוסחה המייצגת את התשובה שתקבלו. הנה הנוסחה לקוביה של בינומה:
(a + b)3 = א3 + 3a2b + 3ab2 + ב3
כדי להשתמש בנוסחה, זהה אילו מספרים (או משתנים) תופסים את החריצים עבור "a" ו- "b" בצד שמאל של משוואה, ואז החלף את אותם מספרים (או משתנים) בחריצי "a" ו- "b" בצד ימין של נוּסחָה.
דוגמה 1: לִפְתוֹר (x + 5)3
כפי שאתה יכול לראות, איקס תופסת את חריץ "a" בצד שמאל של הנוסחה שלך, ו- 5 תופסת את חריץ "b". מחליף איקס ו 5 בצד ימין של הנוסחה נותן לך:
איקס3 + פי 325 + 3x52 + 53
קצת פשט מקרב אותך לתשובה:
איקס3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
ולבסוף, ברגע שפשטתם עד כמה שתוכלו:
איקס3 + פי 152 + 75x + 125
מה לגבי חיסור?
אתה לא צריך נוסחה אחרת כדי לפתור בעיה כמו (y - 3)3. אם אתה זוכר את זה y - 3 זהה ל y + (-3), אתה יכול פשוט לכתוב את הבעיה מחדש [y + (-3)]3 ולפתור את זה באמצעות הנוסחה המוכרת שלך.
דוגמה 2: לִפְתוֹר (y - 3)3
כפי שכבר דובר, הצעד הראשון שלך הוא לשכתב את הבעיה [y + (-3)]3.
לאחר מכן, זכור את הנוסחה שלך לקוביה של בינומה:
(a + b)3 = א3 + 3a2b + 3ab2 + ב3
בבעיה שלך, y תופסת את חריץ "a" בצד שמאל של המשוואה, ו- -3 תופסת את חריץ "b". החלף את אלה לחריצים המתאימים בצד ימין של המשוואה, תוך הקפדה רבה על סוגריים שלך כדי לשמור על הסימן השלילי מול -3. זה נותן לך:
y3 + 3y2(-3) + 3y (-3)2 + (-3)3
עכשיו הגיע הזמן לפשט. שוב, שימו לב היטב לסימן השלילי הזה כשאתם מיישמים מעריצים:
y3 + 3 (-3) y2 + 3 (9) y + (-27)
סבב אחד נוסף של פשט נותן לך את תשובתך:
y3 - 9 שנים2 + 27y - 27
היזהר מסכום והבדל הקוביות
שים לב תמיד למקום בו נמצאים המעריכים בבעיה שלך. אם אתה רואה בעיה בטופס (a + b)3, או [a + (-b)]3, אז הנוסחה הנדונה כאן מתאימה. אבל אם הבעיה שלך נראית כמו (א3 + ב3) אוֹ (א3 - ב3), זה לא הקוביה של בינומה. זהו סכום הקוביות (במקרה הראשון) או הפרש הקוביות (במקרה השני), ובמקרה זה אתה מיישם אחת מהנוסחאות הבאות:
(א3 + ב3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(א3 - ב3) = (א - ב) (א2 + ab + b2)