עם הסופרבול ממש מעבר לפינה, אתלטים ואוהדי העולם מתמקדים היטב במשחק הגדול. אבל עבור _מתמטיסטים, המשחק הגדול עשוי להזכיר בעיה קטנה הקשורה לציונים האפשריים במשחק כדורגל. עם אפשרויות מוגבלות בלבד לכמות הנקודות שתוכל לצבור, פשוט לא ניתן להגיע לסכומים מסוימים, אבל מה הכי גבוה? אם אתה רוצה לדעת מה מקשר בין מטבעות, כדורגל ונאגטס עוף של מקדונלד'ס, זו בעיה עבורך.
בעיית המתמטיקה בסופרבול
הבעיה כוללת את הציונים האפשריים שאולי לוס אנג'לס ראמס או ניו אינגלנד פטריוטס עשויים להשיג ביום ראשון לְלֹא בטיחות או המרת שתי נקודות. במילים אחרות, הדרכים המותרות להגדיל את ציונין הן שערי שטח של שלוש נקודות ונגיעות של 7 נקודות. לכן, ללא בטיחות, אינך יכול להשיג ציון של 2 נקודות במשחק עם שום שילוב של 3 ו -7. באופן דומה, אינך יכול להשיג ציון 4 וגם לא להגיע ל -5.
השאלה היא: מה הציון הגבוה ביותר זה צְבִיעוּת להשיג רק ביעדי שטח של שלוש נקודות ונגיעות של 7 נקודות?
כמובן שנגישות ללא המרה שוות 6, אך מכיוון שבכל מקרה אתה יכול להגיע לזה עם שני שערי שטח, זה לא משנה לבעיה. כמו כן, מכיוון שעסקינן כאן במתמטיקה, אינך צריך לדאוג לטקטיקות של הקבוצה הספציפית או אפילו מגבלות כלשהן ביכולתן לצבור נקודות.
נסה לפתור זאת בעצמך לפני שתמשיך הלאה!
מציאת פיתרון (הדרך האיטית)
לבעיה זו יש כמה פתרונות מתמטיים מורכבים (ראה משאבים לפרטים מלאים, אך התוצאה העיקרית תוצג להלן), אך זו דוגמה טובה לאופן זה נָחוּץ כדי למצוא את התשובה.
כל שעליך לעשות כדי למצוא פיתרון כוח ברוט הוא פשוט לנסות כל אחת מהציונים בתורם. אז אנחנו יודעים שאתה לא יכול להבקיע 1 או 2, כי הם פחות מ -3. כבר קבענו ש -4 ו -5 אינם אפשריים, אך 6 הם עם שני שערי שטח. אחרי 7 (וזה אפשרי), אתה יכול לקבל ציון 8? לא. שלושה שערי שטח נותנים 9, ושער שדה ונגיחה מוחלטת עושה 10. אבל אתה לא יכול לקבל 11.
מנקודה זו ואילך, עבודה קטנה מראה כי:
\ התחל {מיושר} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ סוף {מיושר}
ולמעשה, אתה יכול להמשיך כך כל עוד אתה רוצה. נראה שהתשובה היא 11. אבל האמנם?
הפיתרון האלגברי
מתמטיקאים מכנים בעיות אלה "בעיות מטבעות של פרובניוס." הטופס המקורי הקשור למטבעות, כגון: אם רק היו לך מטבעות מוערכים 4 סנט ו -11 סנט (לא מטבעות אמיתיים, אבל שוב, זה בעיות מתמטיות עבורכם), מה הכמות הגדולה ביותר של כסף שלא הצלחתם ליצר.
הפתרון, מבחינת אלגברה, הוא שעם ציון אחד שווה עמ ' נקודות וציון אחד שווה ש נקודות, הציון הגבוה ביותר שאתה לא יכול להשיג (נ) ניתן ע"י:
N = pq \; - \; (p + q)
אז חיבור הערכים מבעיית הסופרבול נותן:
\ התחל {מיושר} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ סוף {מיושר}
וזו התשובה שקיבלנו בדרך האיטית. אז מה אם היית יכול לצבור רק טאצ'דאונים ללא המרה (6 נקודות) ונגיעות עם המרות נקודה אחת (7 נקודות)? בדוק אם אתה יכול להשתמש בנוסחה כדי לעבד אותה לפני שתקרא.
במקרה זה הנוסחה הופכת ל:
\ התחל {מיושר} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ סוף {מיושר}
בעיית מקנוגט העוף
אז המשחק נגמר ואתה רוצה לתגמל את הקבוצה המנצחת בטיול למקדונלד'ס. אבל הם מוכרים רק מקנוגטס בקופסאות של 9 או 20. אז מה המספר הגבוה ביותר של נאגטס אותך צְבִיעוּת לקנות עם מספרי התיבות (המיושנים) האלה? נסה להשתמש בנוסחה כדי למצוא את התשובה לפני שתקרא.
מאז
N = pq \; - \; (p + q)
ועם עמ ' = 9 ו ש = 20:
\ התחל {מיושר} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {מיושר}
אז בתנאי שקניתם יותר מ -151 נאגטס - ככל הנראה הצוות הזוכה יהיה די רעב - תוכלו לקנות כל מספר נאגטס שרציתם עם שילוב קופסאות כלשהו.
ייתכן שאתה תוהה מדוע סיקרנו רק שתי גרסאות לבעיה זו. מה אם שילבנו בטיחות, או אם מקדונלדס מכרה שלושה גדלים של קופסאות נאגט? יש אין נוסחה ברורה במקרה זה, ולמרות שרוב הגרסאות שלו ניתנות לפתרון, היבטים מסוימים של השאלה אינם פתורים לחלוטין.
אז אולי כשאתה צופה במשחק או אוכל חתיכות עוף נגוסות אתה יכול לטעון שאתה מנסה לפתור בעיה פתוחה במתמטיקה - שווה לנסות לצאת מהמטלות!
