פונקציות גל: הגדרה, מאפיינים, משוואה וסימנים

ריצ'רד פיינמן אמר פעם, "אם אתה חושב שאתה מבין מכניקת קוונטים, אתה לא מבין מכניקה קוואנטית." אמנם הוא ללא ספק היה קצת שטוף, אבל בהחלט יש אמת שלו הַצהָרָה. מכניקת הקוונטים היא נושא מאתגר גם עבור הפיזיקאים המתקדמים ביותר.

הנושא כל כך חזק לא אינטואיטיבי שאין ממש הרבה תקווה להבנהלמההטבע מתנהג כמו שהוא מתנהג ברמה הקוונטית. עם זאת, יש חדשות טובות עבור סטודנטים לפיזיקה המקווים להצליח לעבור שיעורים במכניקת הקוונטים. פונקציית הגל ומשוואת שרודינגר הם ללא ספק כלים שימושיים לתיאור וחיזוי מה יקרה ברוב המצבים.

אתה אולי לאלגמרי מביןמה בדיוק קורה - מכיוון שהתנהגות החומר בקנה מידה זה היאכךמוזר זה כמעט מתריס מההסבר - אבל הכלים שמדענים פיתחו לתיאור תורת הקוונטים הם הכרחיים לכל פיסיקאי.

מכניקת הקוונטים היא ענף הפיזיקה העוסק בחלקיקים קטנים במיוחד ובחפצים אחרים בקנה מידה דומה כמו אטומים. המונח "קוונטי" מקורו ב"קוונטוס ", שפירושו" כמה גדול ", אך בהקשר זה מתייחס לעובדה ש אנרגיה וכמויות אחרות כמו מומנטום זוויתי מקבלים ערכים נפרדים ומכמתים בסולם הקוונטים מֵכָנִיקָה.

זה מנוגד לקיים טווח "רציף" של ערכים אפשריים, כמו כמויות בסולם המאקרו. לדוגמא, במכניקה הקלאסית, כל ערך עבור האנרגיה הכוללת של נגיד, כדור בתנועה, מותר, ואילו במכניקת הקוונטים, חלקיקים כמו אלקטרונים יכולים לקחת רק ספציפיים,

ישנם הבדלים רבים אחרים בין מערכות מכניות קוונטיות לבין עולם המכניקה הקלאסית. לדוגמא, במכניקת הקוונטים, לתכונות הניתנות לצפייה אין ערך מוחלטלפני שאתה מודד אותם; הם קיימים כסופרפוזיציה של ערכים אפשריים מרובים.

אם אתה מודד את המומנטום של הכדור, אתה מודד את הערך הקיים מראש של עולם פיזי רכוש, אך אם אתה מודד את המומנטום של חלקיק, אתה בוחר אחד מתוך מבחר אפשרי מדינותעל ידי ביצוע מדידה. תוצאות המדידות במכניקת הקוונטים תלויות בהסתברויות, ולכן מדענים לא יכולים לעשות זאת הצהרות מוחלטות לגבי התוצאה של כל הצהרה ספציפית באותו אופן כמו בקלאסיקה מֵכָנִיקָה.

כדוגמה פשוטה, לחלקיקים אין עמדות מוגדרות היטב, אלא יש להם טווח מוגדר (ומוגדר היטב) של מיקומים על פני החלל, ואתה יכול לכתוב את צפיפות ההסתברות בטווח האפשרי מיקומים. אתה יכול למדוד את מיקום החלקיק ולקבל ערך מובחן, אך אם ביצעת את המדידה שוב בבדיוק אותן נסיבות, היית מקבל תוצאה אחרת.

יש גם מאפיינים חריגים רבים אחרים של חלקיקים, כגון דואליות של חלקיקי גל, כאשר לכל חלקיק חומר יש גל דה ברוגלי. כל החלקיקים הקטנים מציגים התנהגות דמוית חלקיקים וגם דמויי גל בהתאם לנסיבות.

דואליות של חלקיקי גל היא אחד ממושגי המפתח בפיזיקה קוונטית, ולכן כל חלקיק מיוצג על ידי פונקציית גל. בדרך כלל מקבלים את המכתב היווניΨ(psi) והוא פונקציה של מיקום (איקס) והזמן (t), והוא מכיל את כל המידע שניתן לדעת על החלקיק.

תחשוב שוב על הנקודה הזו - למרות האופי ההסתברותי של החומר בסולם הקוונטים, פונקציית הגל מאפשרת aלְהַשְׁלִיםתיאור החלקיק, או לפחות תיאור מלא ככל האפשר. הפלט יכול להיות חלוקת הסתברות, אך הוא עדיין מצליח להיות שלם בתיאורו.

המודול (כלומר הערך המוחלט) של פונקציה זו בריבוע אומר לך את ההסתברות שתמצא את החלקיק המתואר במיקוםאיקס(או בטווח קטן דאיקס, אם לדייק) בזמןt. יש לנרמל את פונקציות הגל (להגדיר כך שההסתברות היא 1 שיימצאואי שם) כך זה יהיה, אבל זה כמעט תמיד נעשה, ואם זה לא, אתה יכול לנרמל את פונקציית הגל בעצמך על ידי סיכום המודול בריבוע על פני כל הערכים שלאיקס, קביעתו לשווה 1 והגדרת קבוע נורמליזציה בהתאם.

אתה יכול להשתמש בפונקציית הגל לחישוב ערך הצפי למיקום החלקיק בזמןt, שהוא למעשה הערך הממוצע שתשיג עבור המיקום על פני מדידות רבות.

אתה מחשב את ערך הצפי על ידי הקפת ה"מפעיל "עבור הנצפים (למשל למיקום, זה צודקאיקס) עם פונקציית הגל והצמידה המורכבת שלו (כמו כריך) ואז משתלבת על כל החלל. אתה יכול להשתמש באותה גישה עם מפעילים שונים כדי לחשב ערכי ציפייה לאנרגיה, למומנטום ולתצפיות אחרות.

משוואת שרודינגר היא המשוואה החשובה ביותר במכניקת הקוונטים, והיא מתארת ​​את התפתחות תפקוד הגלים עם הזמן ומאפשרת לך לקבוע את ערכה. זה קשור קשר הדוק לשימור האנרגיה והוא נגזר ממנו בסופו של דבר, אך הוא ממלא תפקיד דומה לזה שמילאו חוקי ניוטון במכניקה הקלאסית. הדרך הפשוטה ביותר לכתוב את המשוואה היא:

פה,ההוא המפעיל ההמילטוני, שיש לו צורה מלאה ארוכה יותר:

זה פועל על פונקציית הגל לתיאור האבולוציה במרחב ובזמן, וב- גרסה בלתי תלויה בזמן של משוואת שרודינגר, היא יכולה להיחשב כמפעילת האנרגיה עבור מערכת קוונטים. פונקציות גל מכניות קוונטיות הן פתרונות למשוואת שרודינגר.

עקרון אי הוודאות של הייזנברג הוא אחד העקרונות המפורסמים ביותר של מכניקת הקוונטים, וקובע כי העמדהאיקסומומנטוםעמ 'של חלקיק לא ניתן לדעת בוודאות, או ליתר דיוק, במידת דיוק שרירותית.

ישבסיסיהגבילו לרמת הדיוק בה תוכלו למדוד את שתי הכמויות הללו בו זמנית. התוצאה מגיעה מדואליות גלי החלקיקים של עצמים מכניים קוונטיים, ובאופן ספציפי האופן שבו הם מתוארים כחבילת גל של גלי רכיבים מרובים.

בעוד שעקרון אי-הוודאות בתנופה הוא המוכר ביותר, קיים גם זמן האנרגיה עקרון אי הוודאות (שאומר את אותו הדבר על אנרגיה וזמן) אך גם על חוסר הוודאות הכללי עִקָרוֹן.

בקיצור, זה קובע ששתי כמויות שאינן "נוסעות" זו עם זו (איפהAB - BA ≠ 0) לא ניתן לדעת במקביל לדיוק שרירותי. ישנן כמויות רבות אחרות שאינן מתניידות זו עם זו, וכל כך הרבה זוגות נצפים שאינם יכולים להיות נקבע בדיוק באותו זמן - דיוק במדידה אחת פירושו כמות עצומה של חוסר ודאות באחרת.

זה אחד הדברים העיקריים במכניקת הקוונטים שקשה להבין מנקודת המבט המקרוסקופית שלנו. אובייקטים שאתה נתקל בהם ביום יוםאת כליש ערכים מוגדרים בבירור לדברים כמו מיקומם והמומנטום שלהם בכל עת ומדידה הערכים המקבילים בפיזיקה הקלאסית מוגבלים רק על ידי הדיוק של ציוד המדידה שלך.

במכניקת הקוונטים, לעומת זאת,הטבע עצמומציב גבול לדיוק שאליו ניתן למדוד שתי תצפיות בלתי נסיעות. מפתה לחשוב שזו פשוט בעיה מעשית ותוכל להשיג אותה יום אחד, אבל זה פשוט לא המקרה: זה בלתי אפשרי.

המוזרות המשתמעת מהפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים נתנה לפיזיקאים הרבה לחשוב: מה היה הפרשנות הפיזית של פונקציית הגל, למשל? היה אלקטרוןבֶּאֱמֶתחלקיק או גל, או שזה באמת יכול להיות שניהם? הפרשנות של קופנהגן היא הניסיון הידוע ביותר לענות על שאלות כאלה ועדיין המקובלת ביותר.

הפרשנות אומרת למעשה כי פונקציית הגל ומשוואת שרודינגר הם שלמים תיאור הגל או החלקיק, וכל מידע שלא ניתן להפיק מהם פשוט לא קיימים.

לדוגמא, פונקציית הגל מתפשטת על פני החלל, ומשמעות הדבר היא שלחלקיק עצמו אין מיקום קבוע עד שתמדוד אותו, באיזו נקודה פונקציית הגל "מתמוטטת", ותקבל מובהק ערך. בראייה זו, דואליות הגל-חלקיקים של מכניקת הקוונטים אינה אומרת שחלקיק הואשניהםגל וחלקיק; זה פשוט אומר שחלקיק כמו אלקטרון יתנהג כגל בנסיבות מסוימות וכחלקיק באחרים.

נילס בוהר, התומך הגדול ביותר בפרשנות קופנהגן, דיווח על ביקורת על שאלות כמו: "האם האלקטרון הוא אכן חלקיק, או שהוא גל?"

הוא אמר שהם חסרי משמעות, כי כדי לגלות אתה צריך לבצע מדידה, ואת צורת המדידה (כלומר, מה שתוכננו לזהות) תקבע את התוצאה שאתה הושג. בנוסף, כל המדידות הן הסתברותיות מיסודן, והסתברות זו מובנית בטבע ולא בשל חוסר ידע או דיוק מצד המדענים.

עדיין יש הרבה חילוקי דעות לגבי הפרשנות של מכניקת הקוונטים, ויש חלופות פרשנויות שכדאי ללמוד עליהן, במיוחד פרשנות העולמות הרבים והדה ברוגלי-בוהם פרשנות.

את הפרשנות העולמית הרבים הציע יו אוורט השלישי, ובעצם מסיר את הצורך בקריסת הגל לתפקד לחלוטין, אך בכך מציע "עולמות" מקבילים מרובים (שיש להם הגדרה חלקה בתיאוריה) בד בבד עם משלך.

בעיקרו של דבר, כתוב שכאשר אתה מבצע מדידה של מערכת קוונטית, התוצאה שאתה מקבל אינה כוללת את פונקציית הגל מתמוטטת על ערך מסוים אחד לעולמים הנצפים, אך מרובים מסתבכים ואתה מוצא את עצמך באחד ולא ב אחרים. בעולם שלך, למשל, החלקיק נמצא במצב A ולא B או C, אבל בעולם אחר הוא יהיה ב- B, ובעוד אחר הוא יהיה ב- C.

זו בעצם תיאוריות דטרמיניסטית (ולא תיאוריה הסתברותית), אבל אי הוודאות שלך לגבי איזה עולם אתה מתגורר היא שיוצרת את האופי ההסתברותי לכאורה של מכניקת הקוונטים. ההסתברות באמת קשורה לשאלה אם אתה נמצא בעולם A, B או C, ולא היכן שהחלקיק נמצא בעולם שלך. עם זאת, "פיצול" העולמות מעלה ללא ספק שאלות רבות ככל שהוא עונה, ולכן הרעיון עדיין די שנוי במחלוקת.

לפעמים קוראים לפרשנות דה ברוגלי-בוהםמכניקת גל טייס, וזה נובע מהפרשנות של קופנהגן בכך שחלקיקים מתוארים על ידי פונקציות גל ומשוואת שרודינגר.

עם זאת, הוא קובע שלכל חלקיק יש מיקום מוגדר גם כאשר הוא לא נצפה, אבל הוא כן מונחה על ידי "גל טייס", שעבורו יש משוואה נוספת בה אתה משתמש כדי לחשב את התפתחות ה - מערכת. זה מתאר את דואליות הגל-חלקיקים בכך שהוא אומר בעצם שחלקיק "גולש" במיקום מוגדר על הגל, כשהגל מנחה את תנועתו, אך הוא עדיין קיים גם כאשר אינו נצפה.