משוואות קינמטיות: מתי וכיצד להשתמש בכל נוסחה (עם נגזרות)

רשימת משוואות קינמטיות

\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)

הערות אודות המשוואות הקינמטיות

מקרה מיוחד: נפילה חופשית

אסטרטגיית פתרון בעיות לבעיות קינמטיקה בממד אחד:

שרטטו תרשים של המצב ובחרו מערכת קואורדינטות מתאימה. (זוכר את זה איקס, v ו א כולם כמויות וקטוריות, ולכן על ידי הקצאת כיוון חיובי ברור יהיה קל יותר לעקוב אחר הסימנים.)

כתוב רשימת כמויות ידועות. (היזהר שלפעמים הידע לא ברור מאליו. חפש ביטויים כמו "מתחיל מנוחה", כלומר v_אני = 0, או "פוגע בקרקע", כלומר איקס_f = 0 וכן הלאה.)

קבע איזו כמות השאלה רוצה שתמצא. על מה הלא ידוע שתפתור?

בחר את המשוואה הקינמטית המתאימה. זו תהיה המשוואה המכילה את הכמות הלא ידועה שלך יחד עם הכמויות הידועות.

פתור את המשוואה עבור הכמות הלא ידועה, ואז חבר ערכים ידועים וחשב את התשובה הסופית. (היזהר ביחידות! לפעמים תצטרך להמיר יחידות לפני המחשוב.)

דוגמאות לקינמטיקה חד ממדית

v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }

v_f = v_i + at \ מרמז a = \ frac {(v_f-v_i)} t

60 \ ביטול {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ ביטול {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}

a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ קו תחתון {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}

x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ קו תחתון {\ bold {36.2} \ text {m}}

x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?

(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ מרמז v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ בערך \ pm16 \ טקסט {m / s}

v_f = \ קו תחתון {\ bold {-16} \ text {m / s}}

v_f = v_i + at \ מרמז t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ כ \ קו תחתון {\ bold {3.2} \ text {s }}

משוואות קינמטיות לתנועת קליעה (שני מימדים)

אסטרטגיית פתרון בעיות לבעיות בקינמטיקה בתנועה קליעתית:

שרטט תרשים של המצב. בדיוק כמו בתנועה חד ממדית, מועיל לשרטט את התרחיש ולציין את מערכת הקואורדינטות. במקום להשתמש בתוויות איקס, v ו א לצורך מיקום, מהירות ותאוצה, אנו זקוקים לדרך לסמן את התנועה בכל מימד בנפרד.

לכיוון האופקי, זה הנפוץ ביותר לשימוש איקס לתפקיד ו v_איקס עבור רכיב ה- x של המהירות (שימו לב שהתאוצה היא 0 בכיוון זה, כך שאיננו זקוקים למשתנה עבורו.) y כיוון, זה הנפוץ ביותר לשימוש y לתפקיד ו v_y עבור רכיב ה- y של המהירות. ניתן לתייג תאוצה א_y או שאנחנו יכולים להשתמש בעובדה שאנחנו יודעים שהתאוצה בגלל כוח המשיכה היא ז בכיוון y השלילי, ופשוט השתמש בזה במקום.

כתוב רשימת כמויות ידועות ובלתי ידועות על ידי פיצול הבעיה לשני חלקים: תנועה אנכית ואופקית. השתמש בטריגונומטריה כדי למצוא את רכיבי ה- x ו- y של כמויות וקטוריות שאינן מונחות לאורך ציר. זה יכול להיות מועיל לרשום זאת בשתי עמודות:

(הכנס טבלה 1)

הערה: אם המהירות ניתנת כגודל יחד עם זווית, Ѳ, מעל לרוחב, ואז השתמש בפירוק וקטורי, v_איקס= vcos (Ѳ) ו v_y= לעומת (Ѳ).

אנו יכולים לשקול את שלוש המשוואות הקינמטיות שלנו מלפני כן ולהתאים אותן לכיווני x ו- y בהתאמה.

כיוון X:

x_f = x_i + v_xt

כיוון Y:

v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2 גרם (y_f - y_i)

שים לב שהתאוצה ב- y הכיוון הוא -ג אם אנו מניחים כי הוא חיובי. תפיסה מוטעית נפוצה היא ש- g = -9.8 m / s², אבל זה לא נכון; ז עצמו הוא פשוט גודל התאוצה: g = 9.8 m / s², אז עלינו לציין שהתאוצה היא שלילית.

פתר אחד לא ידוע באחד מאותם ממדים ואז חבר את המשותף לשני הכיוונים. בעוד שהתנועה בשני הממדים היא עצמאית, היא מתרחשת באותו קנה מידה בזמן, ולכן משתנה הזמן זהה בשני הממדים. (הזמן שלוקח לכדור לעבור את תנועתו האנכית זהה לכמות הזמן שלוקח לעבור את תנועתו האופקית.)

דוגמאות לקינמטיקה בתנועה קליעתית

y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ מרמז על t = \ sqrt {\ frac {(2 \ פעמים 20)} g} = \ קו תחתון {\ bold {2.02} \ text {s} }

x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ קו תחתון {\ bold {101} \ text {s}}

v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ כ 86.6 \ טקסט {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ שלח טקסט ל- {m / s}

x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ פעמים 10.2 \ בקו תחתון {\ bold {883} \ text m}

x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ פעמים 5.1 \ בקו תחתון {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {y} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ approx \ קו תחתון {\ bold {128} \ text {m}}

נגזרת משוואות קינמטיות

a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}

v_f = v_i + בשעה

v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}

\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}

x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 ב ^ 2

v_f = v_i + at \ מרמז על t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}

v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ מרמז \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}

(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)