תנודות הן סביבנו, החל מהעולם המקרוסקופי של המטוטלות ורטט המיתרים ועד העולם המיקרוסקופי של תנועת אלקטרונים באטומים וקרינה אלקטרומגנטית.
תנועה כזו שעוברת דפוס חוזר צפוי מכונהתנועה תקופתיתאוֹתנועה מתנדנדת, ולמידה על הכמויות המאפשרות לך לתאר כל סוג של תנועה מתנדנדת היא שלב מרכזי בלימוד הפיזיקה של מערכות אלה.
סוג מסוים של תנועה תקופתית שקל לתאר מתמטית הואתנועה הרמונית פשוטה, אך לאחר שהבנתם את מושגי המפתח, קל להכליל למערכות מורכבות יותר.
תנועה תקופתית
תנועה תקופתית, או פשוט תנועה חוזרת, מוגדרת על ידי שלושה כמויות מפתח: משרעת, תקופה ותדר. האמפליטודה אשל כל תנועה תקופתית היא התזוזה המרבית ממצב שיווי המשקל (שתוכלו לחשוב עליו כמצב "מנוחה", כגון המיקום הנייח של מיתר או הנקודה הנמוכה ביותר של המטוטלת נָתִיב).
הפרק זמן טכל תנועה מתנדנדת היא הזמן שלוקח לאובייקט להשלים "מחזור" אחד של תנועה. לדוגמה, מטוטלת על שעון עשויה להשלים מחזור שלם אחת לשתי שניות, וכך יהיהט= 2 שניות.
התדירות fהוא ההפוך של התקופה, או במילים אחרות, מספר המחזורים שהושלמו בשנייה (או יחידת זמן,t). עבור המטוטלת על שעון, היא משלימה חצי מחזור לשנייה, וכך היהf= 0.5 הרץ, כאשר 1 הרץ (הרץ) פירושו תנודה אחת לשנייה.
תנועה הרמונית פשוטה (SHM)
תנועה הרמונית פשוטה (SHM) היא מקרה מיוחד של תנועה תקופתית, כאשר הכוח היחיד הוא כוח משקם והתנועה היא תנודה פשוטה. אחת התכונות הבסיסיות של SHM היא שכוח השיקום פרופורציונלי ישירות לתזוזה ממצב שיווי המשקל.
אם נחזור לדוגמא של מיתר שנקטף, ככל שתמשוך אותו ממצב המנוחה, כך הוא ינוע חזרה לעברו. המאפיין העיקרי הנוסף של תנועה הרמונית פשוטה הוא שהמשרעת אינה תלויה בתדירות ותקופת התנועה.
המקרה הפשוט ביותר של תנועה הרמונית פשוטה הוא כאשר התנועה התנודהית היא רק בכיוון אחד (כלומר, תנועה קדימה ואחורה), אבל אתה יכול לדגם סוגים אחרים של תנועה (למשל, תנועה מעגלית) כשילוב של מספר מקרים של תנועה הרמונית פשוטה לכיוונים שונים, גַם.
כמה דוגמאות לתנועה הרמונית פשוטה כוללות מסה על קפיץ המתנודד מעלה ומטה כתוצאה מהארכה או דחיסה של הקפיץ, מטוטלת זווית קטנה מתנדנד אחורה וקדימה בהשפעת כוח הכבידה ואפילו דוגמאות דו ממדיות לתנועה מעגלית כמו ילד שרוכב על קרוסלה או שמח.
משוואות תנועה למתנדים הרמוניים פשוטים
כפי שצוין בסעיף הקודם, קיים קשר מעניין בין תנועה מעגלית אחידה לתנועה הרמונית פשוטה. דמיין נקודה במעגל המסתובב בקצב קבוע על ציר קבוע ושהיית עוקב אחראיקס-תאם נקודה זו לאורך תנועתה המעגלית.
המשוואות המתארות אתאיקסעמדה,איקסמהירות ואיקסהאצה של נקודה זו מתארת את תנועתו של מתנד הרמוני פשוט. באמצעותאיקס(t) למיקום כפונקציה של זמן,v(t) למהירות כפונקציה של זמן וא(t) לצורך האצה כפונקציה של זמן, המשוואות הן:
x (t) = A \ sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \ cos (ωt) \\ a (t) = −Aω ^ 2 \ sin (ωt)
איפהωהוא התדר הזוויתי (הקשור לתדר הרגיל לפיω = 2πf) ביחידות רדיאנים לשנייה, ואנחנו משתמשים בזמןtכמו ברוב המשוואות. כאמור בסעיף הראשון,אהיא המשרעת של התנועה.
מתוך הגדרות אלה, ניתן לאפיין תנועה הרמונית פשוטה ותנועה מתנודה באופן כללי. לדוגמא, ניתן לראות מפונקציית הסינוס גם במשוואות המיקום וגם בתאוצה כי שני אלה משתנים יחד, ולכן התאוצה המקסימאלית מתרחשת בתזוזה המרבית. משוואת המהירות תלויה בקוסינוס, שלוקח את הערך המקסימלי (המוחלט) בדיוק בחצי הדרך בין התאוצה (או העקירה) המרביתאיקסאו -איקסכיוון, או במילים אחרות, במצב שיווי המשקל.
מיסה על אביב
החוק של הוק מתאר צורה של תנועה הרמונית פשוטה לקפיץ וקובע שכוח השבת הקפיץ הוא פרופורציונאלי לתזוזה משיווי המשקל (איקס, כלומר, שינוי באיקס), ויש לו "קבוע של מידתיות" הנקרא קבוע קפיץ,k. בסמלים המשוואה קובעת:
F_ {קפיץ} = −k∆x
הסימן השלילי כאן אומר לך שהכוח הוא כוח מחזיר, שפועל בכיוון ההפוך לתזוזה ונמדד ביחידת הכוח SI, הניוטון (N).
למסהMבקפיץ נקרא שוב העקירה המרבית (משרעת)א, וωזה מוגדר כ:
ω = \ sqrt {\ frac {k} {m}}
ניתן להשתמש במשוואה זו עם משוואת המיקום לתנועה הרמונית פשוטה (כדי למצוא את מיקום המסה בכל עת), ואז להחליפה למקום של ∆איקסבחוק הוק לקבוע את גודל הכוח המשקם בכל עתt. הקשר המלא לכוח השיקום יהיה:
F_ {קפיץ} = −k A \ sin \ bigg (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t \ bigg)
מטוטלת זווית קטנה
עבור מטוטלת זווית קטנה, כוח השיקום פרופורציונאלי לתזוזה הזוויתית המרבית (כלומר, השינוי ממצב שיווי המשקל המתבטא כזווית). כאן המשרעתאהיא הזווית המקסימלית של המטוטלת ו-ωזה מוגדר כ:
ω = \ sqrt {\ frac {g} {L}}
איפהז= 9.81 מ 'לשנייה2 ולהוא אורך המטוטלת. שוב, ניתן להחליף זאת למשוואות התנועה לתנועה הרמונית פשוטה, אלא שצריך לשים לב לכךאיקסבמקרה זה, יתייחס לזוויתיעקירה ולא תזוזה לינארית בכיוון x. לפעמים זה מסומן באמצעות הסמל תטא (θבמקוםאיקסבמקרה הזה.
תנודות לחות
במקרים רבים בפיזיקה, סיבוכים כמו חיכוך מוזנחים כדי להפוך את החישובים לפשוטים יותר במצבים שבהם הם עשויים להיות זניחים בכל מקרה. ישנם ביטויים שבהם אתה יכול להשתמש אם אתה צריך לחשב מקרה שבו חיכוך הופך להיות חשוב, אך נקודת המפתח לכך זכור כי עם חיכוך בחשבון, תנודות הופכות "לחות", כלומר הן יורדות במשרעת עם כל אחת מהן תְנוּדָה. עם זאת, תקופת התנודה ותדירותה נותרים ללא שינוי גם בנוכחות חיכוך.
תנודות ותהודה כפויה
תהודה היא בעצם ההפך מתנודה רטובה. לכל האובייקטים תדר טבעי, שאותו הם "אוהבים" להתנוד, ואם התנודה נאלצת או מונעת בתדר זה (בכוח תקופתי), משרעת התנועה תגדל. התדר בו מתרחש התהודה נקרא תדר התהודה, ובאופן כללי לכל האובייקטים יש תדר תהודה משלהם, אשר תלוי במאפיינים הפיזיים שלהם.
כמו בשיכוך, חישוב תנועה בנסיבות אלה מסתבך יותר, אך ייתכן אם אתה מתמודד עם בעיה הדורשת זאת. עם זאת, מספיק להבין את ההיבטים המרכזיים של האופן שבו האובייקט מתנהג במצבים אלה המטרות ביותר, במיוחד אם זו הפעם הראשונה שאתה לומד על הפיזיקה של תנודות!