בידול מרומז הוא טכניקה המשמשת לקביעת הנגזרת של פונקציה בצורה y = f (x).
כדי ללמוד כיצד להשתמש בבידול מרומז, נוכל להשתמש בשיטה על דוגמה פשוטה ואז לחקור כמה מקרים מורכבים יותר.
בידול מרומז הוא רק בידול
אמנם זה נשמע מסובך יותר, אך בידול מרומז משתמש באותן מתמטיקה ומיומנויות כמו בידול בסיסי. אולם הדבר החשוב לציין הוא שהמשתנה התלוי שלנו מופיע כעת בפונקציה עצמה.
קח משוואה פשוטה כגון xy = 1. ישנן שתי דרכים למצוא את הנגזרת של y ביחס ל איקס, או dy / dx. ראשית, אנחנו יכולים פשוט לפתור את הבעיה y במשוואה והשתמש בכללי הכוח לנגזרים. פעולה זו תניב: y = 1 / x. החלת כלל הכוח תגלה אפוא כי dy / dx = -1 / x2.
אנו יכולים לעשות בעיה זו גם באמצעות בידול מרומז. למרבה המזל, אנחנו כבר יודעים את התשובה (היא צריכה להיות זהה ללא קשר לאופן שאנחנו מחושבים אותה), כדי שנוכל לבדוק את העבודה שלנו!
כדי להתחיל, החל את הנגזרת על שני צידי המשוואה xy = 1. ואז, d / dx (xy) = d / dx (1); ברור שהצד הימני שווה כעת ל- 0, אך הצד השמאלי מחייב את כלל השרשרת. הסיבה לכך היא שאנחנו לוקחים את הנגזרת של הפונקציה שלנו, y, בזמן שהוא מוכפל לגורם אחר של
שכתוב תשואות המשוואה שלנו: y + xy '= 0. הגיע הזמן לפתור אתה במשוואה שלנו! ברור, y '= -y / x. אך באמצעות המידע המקורי, אנו יודעים כי y = 1 / x, כך שנוכל להחליף את זה חזרה פנימה. ברגע שאנו עושים זאת, אנו רואים כי y '= -1 / x2, בדיוק כמו שמצאנו קודם.
בידול מרומז לקביעת נגזרת החטא (xy)
כדי לקבוע את הנגזרת של y = sin (xy), נשתמש בבידול מרומז על ידי זכירה ש- (d / dx) y = y '.
ראשית, החל את הנגזרת על שני צידי המשוואה: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). הצד השמאלי של המשוואה ברור אתה, וזה מה שנצטרך לפתור עבורו, אבל הצד הימני ידרוש קצת עבודה; באופן ספציפי, כלל השרשרת וכלל המוצר. ראשית, יש להחיל את כלל השרשרת על sin (xy), ואז את כלל המוצר עבור הטיעון xy. למרבה המזל כבר חישבנו כלל מוצר זה.
לאחר מכן, הפשטה זו נותנת: y '= cos (xy) (y + xy').
ברור שיש לפתור משוואה זו אתה על מנת לקבוע כיצד אתה קשור ל איקס ו y.
לבודד את כל התנאים עם אתה בצד אחד: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
ואז פקטור את אתה להשיג: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
כעת אנו רואים כי y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
יש צורך בפשטות נוספת, אך מכיוון שתפקידנו מוגדר רקורסיבית, חיבור y = sin (xy) ככל הנראה לא יניב פתרון מספק. במקרה זה, מידע נוסף או שיטה מתוחכמת יותר לתכנון משוואות אלה עשויים להיות שימושיים.
צעדים כלליים לבידול משתמע
ראשית, זכור כי בידול מרומז מסתמך על כך שאחד המשתנים הוא פונקציה של השני. בדרך כלל אנו רואים בפונקציות y = f (x), אך אפשר לכתוב פונקציה x = f (y). היזהר כשניגשים לבעיות אלה כדי לקבוע איזה משתנה תלוי באחרת.
לאחר מכן, זכור להחיל בקפידה כללים נגזרים. בידול מרומז ידרוש את כלל השרשרת לעיתים קרובות מאוד, כמו גם את כלל המוצר ואת כלל המנה. יישום נכון של שיטות אלה יהיה חיוני לקביעת התשובה הסופית.
לסיום, פתר את הנגזרת הרצויה על ידי בידודו ופשט ככל האפשר את הביטויים.