Prima di parlare del centro di gravità, assumiamo alcuni parametri. Uno, che hai a che fare con un oggetto che si trova sulla superficie terrestre, non nello spazio da qualche parte. E due, che l'oggetto è ragionevolmente piccolo, diciamo, non un'astronave parcheggiata sulla Terra, in attesa di decollare. Una volta eliminate tutte queste influenze extraterrestri, sei in una buona posizione per calcolare il baricentro degli oggetti geometrici usando un formula relativamente semplice – e infatti, a causa di quelle condizioni appena impostate, utilizzerai la stessa formula per trovare il baricentro e per trovare il centro di Massa.
Come scrivere sul centro di gravità
Il centro di gravità in un piano bidimensionale è solitamente indicato dalle coordinate (xcg,ycg) o talvolta dalle variabiliXesìcon una barra sopra di loro. Inoltre, il termine "centro di gravità" è talvolta abbreviato in cg.
Come calcolare il baricentro di un triangolo
Il tuo libro di testo di matematica o fisica avrà spesso dei grafici per determinare il centro di equilibrio di determinate figure. Ma per alcune forme geometriche comuni, puoi usare la formula del centro di gravità appropriata per trovare il centro di gravità di quella forma.
Per i triangoli, il centro di gravità si trova nel punto in cui tutte e tre le mediane si intersecano. Se inizi da un vertice del triangolo e poi disegni una linea retta nel punto medio dell'altro lato, questa è una mediana. Fai lo stesso per gli altri due vertici e il punto in cui tutte e tre le mediane si intersecano è il centro di gravità del triangolo.
E, naturalmente, c'è una formula per questo. Se le coordinate del baricentro del triangolo sono (xcg,ycg), trovi le sue coordinate così:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
Dove (x1,y1), (X2,y2) e (x3,y3) sono le coordinate dei tre vertici del triangolo. Puoi scegliere a quale vertice viene assegnato quale numero.
Formula del centro di gravità per un rettangolo
Hai notato che per trovare il baricentro di un triangolo, devi solo fare la media del valore delle coordinate x, quindi media il valore delle coordinate y e usa i due risultati come coordinate per il tuo centro di gravità?
Per trovare il baricentro di un rettangolo, fai esattamente la stessa cosa. Ma per rendere i tuoi calcoli ancora più semplici, supponi che il rettangolo sia orientato ad angolo retto a un cartesiano piano delle coordinate (quindi non è impostato ad angolo), e che il suo vertice inferiore sinistro è all'origine del grafico. In tal caso, per trovare (xcg,ycg) per un rettangolo, tutto ciò che devi calcolare è:
x_{cg}=\frac{\text{larghezza}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{altezza}}{2}
Se non vuoi spostare il tuo rettangolo all'origine del piano delle coordinate o se per qualsiasi motivo non è esattamente quadrato al assi coordinati, puoi affrontare questa formula dall'aspetto leggermente più spaventoso, ma comunque efficace, per fare la media di tutte le sue coordinate x per trovare il valore di xcge media tutte le coordinate y per trovare il valore di ycg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
L'equazione del centro di gravità
E se dovessi calcolare il centro di gravità per una forma che si adatta a tutte le ipotesi menzionate prima (in pratica, non stai cercando di fare letteralmente scienza missilistica trovando il baricentro degli oggetti nello spazio), ma non rientra in nessuna delle categorie appena menzionate o nei grafici sul retro del tuo manuale? Quindi puoi suddividere la tua forma in forme più familiari e utilizzare le seguenti equazioni per trovare il loro centro di gravità collettivo:
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
O per dirla in un altro modo, xcg è uguale all'area della sezione 1 per la sua posizione sull'asse x, aggiunta all'area della sezione 2 per la sua posizione e così via finché non hai sommato l'area per la posizione di tutte le sezioni; quindi dividere l'intero importo per l'area totale di tutte le sezioni. Quindi fai lo stesso per y.
D: Come trovo l'area di ogni sezione?Dividere la tua forma complessa o irregolare in poligoni più familiari ti consente di utilizzare formule standardizzate per trovare l'area. Ad esempio, se hai diviso quella forma in pezzi rettangolari, puoi utilizzare la formula lunghezza × larghezza per trovare l'area di ciascun pezzo.
D: Qual è la "posizione" di ogni sezione?La posizione di ogni sezione è la coordinata appropriata dal centro di gravità di quella sezione. Quindi se vuoi y2 (la posizione per il segmento 2), devi effettivamente fornire la coordinata y per il centro di gravità di quel segmento. Di nuovo, questo è il motivo per cui suddividi un oggetto dalla forma strana in forme più familiari, perché puoi usare il formule già discusse per trovare il centro di gravità di ogni forma e quindi estrarre la coordinata appropriata appropriate (S).
D: Dove va la mia forma sul piano delle coordinate?Puoi scegliere dove si trova la tua forma sul piano delle coordinate: tieni presente che il centro di gravità della tua risposta sarà in relazione allo stesso punto di riferimento. È più facile posizionare l'oggetto nel primo quadrante del grafico, con il bordo inferiore contro l'asse x e il bordo sinistro contro l'asse y in modo che tutti i valori x e y siano positivi, ma anche abbastanza piccoli da essere gestibile.
Trucchi per trovare il baricentro
Se hai a che fare con un singolo oggetto, a volte basta l'intuito e un po' di logica per trovare il suo baricentro. Ad esempio, se stai considerando un disco piatto, il centro di gravità sarà il centro del disco. In un cilindro, è il punto medio sull'asse del cilindro. Per un rettangolo (o quadrato), è il punto in cui convergono le linee diagonali.
Potresti aver notato uno schema qui: se l'oggetto in questione ha una linea di simmetria, il centro di gravità sarà su quella linea. E se ha più assi di simmetria, il centro di gravità sarà dove quegli assi si intersecano.
Infine, se stai cercando di trovare il baricentro di un oggetto veramente complesso, hai due opzioni: o tira fuori i tuoi migliori integrali di calcolo (vedi Risorse per un integrale triplo che rappresenta il baricentro per una massa non uniforme) o inserisci i tuoi dati in un centro di gravità appositamente costruito calcolatrice. (Vedi Risorse per un esempio di calcolatore del centro di gravità per aerei radiocomandati.)