Le funzioni matematiche sono potenti strumenti per gli affari, l'ingegneria e le scienze perché possono agire come modelli in miniatura di fenomeni del mondo reale. Per comprendere funzioni e relazioni, è necessario approfondire concetti come insiemi, coppie ordinate e relazioni. Una funzione è un tipo speciale di relazione che ne ha solo unosìvalore per un datoXvalore. Esistono altri tipi di relazioni che sembrano funzioni ma non soddisfano la rigorosa definizione di una.
TL; DR (troppo lungo; non letto)
Una relazione è un insieme di numeri organizzati in coppie. Una funzione è un tipo speciale di relazione che ne ha solo unosìvalore per un datoXvalore.
Insiemi, coppie ordinate e relazioni
Per descrivere relazioni e funzioni, è utile discutere prima di insiemi e coppie ordinate. In breve, un insieme di numeri è una loro raccolta, generalmente contenuta tra parentesi graffe, come {15,1, 2/3} o {0,.22}. In genere, si definisce un insieme con una regola, ad esempio tutti i numeri pari compresi tra 2 e 10, inclusi: {2,4,6,8,10}.
Un insieme può avere un numero qualsiasi di elementi o nessuno, ovvero l'insieme null {}. Una coppia ordinata è un gruppo di due numeri racchiusi tra parentesi, come (0,1) e (45, -2). Per comodità, puoi chiamare il primo valore in una coppia ordinata ilXvalore, e il secondo ilsìvalore. Una relazione organizza le coppie ordinate in un insieme. Ad esempio, l'insieme {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} è una relazione. Puoi tracciare ilXesìvalori di una relazione su un grafico usando ilXesìassi.
Relazioni e funzioni
Una funzione è una relazione in cui ogni datoXil valore ha un solo corrispondentesìvalore. Potresti pensare che con le coppie ordinate, ciascunaXne ha solo unosìvalore comunque. Tuttavia, nell'esempio di una relazione di cui sopra, si noti che ilXi valori 1 e 2 hanno ciascuno due corrispondentisìvalori, rispettivamente 0 e 5 e 10 e 15. Questa relazione non è una funzione. La regola conferisce alla relazione di funzione una definitività che altrimenti non esisterebbe, in termini diXvalori. Potresti chiedere, quandoXè 1, qual è ilsìvalore? Per la relazione di cui sopra, la domanda non ha una risposta certa; potrebbe essere 0, 5 o entrambi.
Ora esamina un esempio di una relazione che è una vera funzione: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. IlXi valori non vengono ripetuti da nessuna parte. Come altro esempio, guarda {( −1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Alcunisìi valori vengono ripetuti, ma ciò non viola la regola. Puoi ancora dirlo quando il valore diXè 0,sìè sicuramente 5.
Funzioni grafiche: Test della linea verticale
Puoi capire se una relazione è una funzione tracciando i numeri su un grafico e applicando il test della linea verticale. Se nessuna linea verticale passante per il grafico lo interseca in più di un punto, la relazione è una funzione.
Funzioni come equazioni
Scrivere un insieme di coppie ordinate come funzione è un esempio facile, ma diventa rapidamente noioso quando si hanno più di pochi numeri. Per affrontare questo problema, i matematici scrivono funzioni in termini di equazioni, come
y = x^2 - 2x + 3
Usando questa equazione compatta, puoi generare tutte le coppie ordinate che vuoi: Inserisci valori diversi perX, fai i conti e vieni fuorisìvalori.
Usi delle funzioni nel mondo reale
Molte funzioni fungono da modelli matematici, consentendo alle persone di cogliere dettagli di fenomeni che altrimenti rimarrebbero misteriosi. Per fare un semplice esempio, l'equazione della distanza per un oggetto che cade è
d = \frac{1}{2} g t^2
dovetè il tempo in secondi, egè l'accelerazione di gravità. Collega 9,8 per la gravità terrestre in metri al secondo al quadrato e puoi trovare la distanza di caduta di un oggetto in qualsiasi momento. Nota che, per tutta la loro utilità, i modelli hanno dei limiti. L'equazione di esempio funziona bene per far cadere una palla d'acciaio ma non una piuma perché l'aria rallenta la piuma.