In una sequenza geometrica, ogni termine è uguale al termine precedente moltiplicato per un moltiplicatore costante, diverso da zero, chiamato fattore comune. Le successioni geometriche possono avere un numero fisso di termini, oppure possono essere infinite. In entrambi i casi, i termini di una sequenza geometrica possono diventare rapidamente molto grandi, molto negativi o molto vicini allo zero. Rispetto alle sequenze aritmetiche, i termini cambiano molto più rapidamente, ma mentre l'aritmetica infinita le sequenze aumentano o diminuiscono costantemente, le sequenze geometriche possono avvicinarsi a zero, a seconda del comune fattore.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Una sequenza geometrica è un elenco ordinato di numeri in cui ogni termine è il prodotto del termine precedente e un moltiplicatore fisso, diverso da zero, chiamato fattore comune. Ogni termine di una sequenza geometrica è la media geometrica dei termini che lo precedono e lo seguono. Successioni geometriche infinite con un fattore comune tra +1 e −1 si avvicinano al limite di zero come termini vengono aggiunti mentre le sequenze con un fattore comune maggiore di +1 o minore di -1 vanno a più o meno infinito.
Come funzionano le sequenze geometriche
Una sequenza geometrica è definita dal suo numero inizialeun, il fattore comunere il numero di terminiS. La forma generale corrispondente di una sequenza geometrica è:
a, ar, ar^2, ar^3,..., ar^{S-1}
La formula generale del terminendi una sequenza geometrica (cioè, qualsiasi termine all'interno di quella sequenza) è:
a_n = ar^{n-1}
La formula ricorsiva, che definisce un termine rispetto al precedente, è:
a_n = ra_{n-1}
Un esempio di una sequenza geometrica con numero iniziale 3, fattore comune 2 e otto termini è 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Calcolando l'ultimo termine utilizzando la forma generale sopra elencata, il termine è:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Usando la formula generale per il termine 4:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Se vuoi usare la formula ricorsiva per il termine 5, allora il termine 4 = 24 e a5 è uguale a:
a_5= 2 × 24 = 48
Proprietà della sequenza geometrica
Le successioni geometriche hanno proprietà speciali per quanto riguarda la media geometrica. La media geometrica di due numeri è la radice quadrata del loro prodotto. Ad esempio, la media geometrica di 5 e 20 è 10 perché il prodotto 5 × 20 = 100 e la radice quadrata di 100 è 10.
Nelle sequenze geometriche, ogni termine è la media geometrica del termine precedente e del termine successivo. Ad esempio, nella sequenza 3, 6, 12... sopra, 6 è la media geometrica di 3 e 12, 12 è la media geometrica di 6 e 24 e 24 è la media geometrica di 12 e 48.
Altre proprietà delle successioni geometriche dipendono dal fattore comune. Se il fattore comunerè maggiore di 1, le sequenze geometriche infinite si avvicineranno all'infinito positivo. Serè compreso tra 0 e 1, le sequenze si avvicineranno a zero. Serè compreso tra zero e -1, le sequenze si avvicineranno allo zero, ma i termini si alterneranno tra valori positivi e negativi. Serè minore di -1, i termini tenderanno all'infinito sia positivo che negativo mentre si alternano tra valori positivi e negativi.
Le sequenze geometriche e le loro proprietà sono particolarmente utili nei modelli scientifici e matematici dei processi del mondo reale. L'uso di sequenze specifiche può aiutare nello studio di popolazioni che crescono a un tasso fisso in determinati periodi di tempo o di investimenti che generano interessi. Le formule generali e ricorsive consentono di prevedere valori accurati in futuro in base al punto di partenza e al fattore comune.