Che cos'è una disuguaglianza?

Quando inizi a imparare l'algebra, un segno di uguale viene utilizzato per significare, letteralmente, che le due cose sono uguali tra loro. Ad esempio 3 = 3, 5 = 3 + 2, mela = mela, pera = pera e così via, che sono tutti esempi di equazioni. In confronto, una disuguaglianza ti dà due informazioni: primo, che le cose che vengono confrontate sonononuguale, o almeno non sempre uguale; e secondo, in che modo sono diseguali.

Una disuguaglianza viene scritta esattamente come scriveresti un'equazione, tranne per il fatto che invece di usare un segno di uguale, usi uno dei segni di disuguaglianza. Sono ">" alias "maggiore di", " e edisuguale.

Una rappresentazione visiva, ovvero un grafico, di una disuguaglianza è un altro modo di visualizzare cosa significa realmente una disuguaglianza. Anche rappresentare graficamente le disuguaglianze è qualcosa che ti verrà chiesto di fare durante le lezioni di matematica. Immagina la seguente equazione:

Se dovessi tracciare questo grafico, sarebbe una linea diagonale che passa dritta attraverso l'origine, inclinata verso l'alto e verso destra con pendenza di 1 o, se preferisci, 1/1. Tutte le possibili soluzioni dell'equazione giacciono su quella linea, e solo su quella linea.

Ma cosa succede se invece di un'equazione, tu avessi la disuguaglianza?

Questo particolare simbolo di disuguaglianza verrebbe letto come "minore o uguale a" e ti dice cheX​ = ​sìè una possibile soluzione, insieme ad ogni combinazione doveXè meno disì​.

Quindi la linea che rappresentaX​ = ​sìrimane una possibile soluzione e la disegneresti come al solito. Ma ombreggiaresti anche l'area a sinistra della linea, perché qualsiasi valore doveXè meno disìè incluso anche nelle tue soluzioni.

Se invece diX​ ≤ ​sìhai avuto la stretta disuguaglianzaX​ < ​sì, lo faresti graficamente esattamente come theX​ ≤ ​sì,tranne che perchéX​ = ​sìnon è più un'opzione, non disegneresti quella linea in modo solido. Invece, disegnerestiX​ = ​sìcome una linea tratteggiata o spezzata, che mostra che sebbene non faccia parte dell'insieme di soluzioni, è ancora il confine tra l'insieme di soluzioni valide (in questo caso, a sinistra della tua riga) e le non soluzioni dall'altra parte del linea.

Per la maggior parte, risolvere le disuguaglianze funziona esattamente come risolvere le equazioni. Ad esempio, se ti trovassi di fronte alla semplice equazione

divideresti entrambi i lati per 2 per arrivare alla rispostaX​ = 3.

Faresti lo stesso se ti trovassi, invece, di fronte agli stessi numeri di una disuguaglianza: diciamo, 2X≥ 6. Dividi entrambi i membri per 2 e arrivi alla soluzioneX≥ 3 o, per scriverlo in un inglese semplice,Xrappresenta tutti i numeri maggiori o uguali a 3.

Puoi anche aggiungere e sottrarre numeri su entrambi i lati di una disuguaglianza, proprio come fai con le equazioni, o dividere per lo stesso numero su entrambi i lati.

Ma c'è una notevole eccezione a cui prestare attenzione: se moltiplichi o dividi entrambi i lati di una disuguaglianza per un numero negativo, devi invertire la direzione del segno di disuguaglianza. Ad esempio, considera la disuguaglianza -4sì​ > 24.

Isolaresì, dovrai dividere entrambi i membri per -4. Questo è il tuo grilletto per cambiare la direzione del segno di disuguaglianza. Quindi, dopo aver diviso, hai:

Si noti che l'insieme delle soluzioni per la disuguaglianza appena data include -7, -8, -7.5, -9,23 e un numero infinito di altre soluzioni minori di -6, ma non -6 stesso, perché il segno di disuguaglianza non ha la barra in più per "o uguale a". Quindi, per controllare il tuo lavoro, assicurati di sostituire i valori dalla tua soluzione impostato.

Se sostituisci -6 nella disuguaglianza originale finiresti con -4 × -6 > 24 o 24 > 24, il che non ha senso. Né dovrebbe, poiché -6 non è incluso nell'insieme delle soluzioni. Ma se dovessi iniziare a sostituire i valori chesiamoincluso nel set di soluzioni, come -7, otterresti risultati validi. Per esempio:

che si semplifica in:

che è un risultato valido.