Come risolvere le disuguaglianze lineari

Diciamo che devi andare a fare la spesa e hai un budget limitato. Vuoi comprare pasta e pane per un gruppo numeroso, ma non puoi spendere più di venti dollari. In teoria potresti comprare solo pane e niente pasta, oppure tanto pane e solo una scatola di pasta. Quante diverse combinazioni di scatole di pasta e pagnotte potresti comprare? E come puoi ottenere il massimo da ciascuno per i tuoi soldi?

Si chiamano problemi come questidisuguaglianze lineari: equazioni il cui grafico è una linea, ma invece di usare il segno di uguale, usano simboli di disuguaglianza come > o <.>

TL; DR (troppo lungo; non ho letto)

Per risolvere una disuguaglianza lineare, devi trovare tutte le combinazioni diXesìche rendono vera la disuguaglianza. Puoi risolvere le disuguaglianze lineari usando l'algebra o graficamente.

​Per​ ​risolvere una disuguaglianza lineare(o qualsiasi equazione), devi trovare tutte le combinazioni diXesìche rendono vera quell'equazione.

Puoi risolvere le disuguaglianze lineari algebricamente o puoi rappresentare le soluzioni su un grafico (o entrambi!). Esaminiamo insieme alcuni problemi di esempio.

Questo processo èquasiequivale a risolvere un'equazione lineare, ma con un'eccezione fondamentale. Dai un'occhiata al problema qui sotto.

Per prima cosa, prendi tutte leX-es sullo stesso lato del segno "maggiore di". InserisciXad entrambi i lati per annullare ilXsul lato destro e hanno soloXsulla sinistra.

Ora aggiungi sei su entrambi i lati:

Finora questo è stato esattamente come qualsiasi equazione lineare. Ma ora le cose stanno per cambiare!Quando dividi entrambi i lati di una disuguaglianza per un numero negativo, devi cambiare la direzione del simbolo di disuguaglianza​.

Quindi per -3X> 18, divideremo entrambi i membri per -3, quindi invertiremo il segno > in un segno <.>

Che ne dici di fare un grafico? Ancora una volta, il processo è molto simile alle equazioni lineari, ma c'è un'importante differenza. Dal momento che devi indicaretuttidelle combinazioni diXesìche rendono vera una disuguaglianza, disegnerai il grafico della linea come al solito e poi ombreggerai la sezione del grafico che ti dà il resto delle possibili soluzioni.

Ad esempio, come grafico la disuguaglianza?sì​ < 3​X​ + 6?

Innanzitutto, noteresti che la disuguaglianza è informa intercetta pendenza, il che significa che possiamo usare ilsì-intercetta e la pendenza per rappresentare graficamente rapidamente la linea.

Ilsì-l'intercetta è 6, quindi disegna un punto in (0, 6), quindi usa il fatto che la pendenza è 3 per salire di tre unità e una unità a destra, quindi disegna un punto. Il tuo punto dovrebbe essere a (1, 9). Per creare una linea ordinata e bella, è bello ottenere tre punti, quindi disegna un altro punto partendo da (1, 9) e salendo di tre punti, di nuovo uno. Otterrai un punto in (2, 12). Ora traccia una linea collegando i punti.

Grande! Hai appena disegnato l'uguaglianzasì​ = 3​X+ 6, ma ricorda che l'equazione originale èsì​ < 3​X+ 6. Usa questo semplice trucco per ombreggiare la parte corretta del grafico:quando la disuguaglianza è in forma pendenza-intercetta, se haisìsì>, quindi ombreggia tutto sopra la linea.​

Ma ricontrolla per essere sicuro! Quando ombreggiate un'intera sezione del grafico, significa che uno qualsiasi di questi punti dovrebbe rendere vera l'equazione. Prendi un punto a caso che hai ombreggiato e collegaXesìnella disuguaglianza originaria. Se funziona, sei a posto. In caso contrario, è necessario ricontrollare i grafici e/o l'algebra.

Un'ultima cosa:quando hai > o ​ ≤, ​la linea deve essere continua.Questo mostra se i punti sulla linea stessa sono inclusi o meno nella soluzione.

Risolvere un sistema di disequazioni lineari è molto simile a risolvere sistemi di equazioni.Graficiè il modo più semplice per risolvere le disuguaglianze lineari.

Per rappresentare graficamente un sistema di disuguaglianze lineari, traccia la tua prima disuguaglianza come hai fatto sopra e ombreggia le aree sopra o sotto la tua linea. Quindi rappresenta graficamente la seconda disuguaglianza. Ancora una volta, ombreggerai tutte le sezioni del grafico che rendono vera la disuguaglianza. La maggior parte delle volte, ci sarà un'area del grafico che hai ombreggiato due volte! Questo è ilsoluzioneal sistema delle disuguaglianze, perché èla sezione del grafico in cui entrambe le disuguaglianze sono vere​.