Un radicale è fondamentalmente un esponente frazionario ed è indicato dal segno del radicale (√). L'espressioneX2 significa moltiplicareXda solo (X × X), ma quando vedi l'espressione √X, stai cercando un numero che, moltiplicato per se stesso, sia ugualeX. Allo stesso modo, 3√Xsignifica un numero che, moltiplicato per se stessodue volte,è uguale aX, e così via. Proprio come puoi moltiplicare i numeri con lo stesso esponente, puoi fare lo stesso con i radicali, purché gli apici davanti ai segni dei radicali siano gli stessi. Ad esempio, puoi moltiplicare (√X × √X) per ottenere √(X2), che è uguale aX, e (3√X × 3√X) ottenere 3√(X2). Tuttavia, l'espressione (√X × 3√X) non può essere ulteriormente semplificato.
Suggerimento n. 1: ricorda il "prodotto elevato a una regola di potenza"
Quando si moltiplicano gli esponenti, vale quanto segue:
(a)^x × (b)^x = (a × b)^x
La stessa regola si applica quando si moltiplicano i radicali. Per capire perché, ricorda che puoi esprimere un radicale come esponente frazionario. Per esempio,
\sqrt{a} = a^{1/2}
o, in generale,
\sqrt[x]{a} = a^{1/x}
Quando moltiplichi due numeri con esponenti frazionari, puoi trattarli come numeri con esponenti integrali, a condizione che gli esponenti siano gli stessi. Generalmente:
\sqrt[x]{a} × \sqrt[x]{b}= \sqrt[x]{a × b}
Esempio:Moltiplica √25 × √400
\sqrt{ 25} × \sqrt{400} = \sqrt{25 × 400} = \sqrt{10.000}
Suggerimento n. 2: semplifica i radicali prima di moltiplicarli
Nell'esempio sopra, puoi vedere rapidamente che
\sqrt{ 25} = \sqrt{5^2}=5
e quello
\sqrt{400} = \sqrt{20^2}=20
e che l'espressione si semplifica a 100. È la stessa risposta che ottieni quando cerchi la radice quadrata di 10.000.
In molti casi, come nell'esempio sopra, è più facile semplificare i numeri sotto i segni dei radicali prima di eseguire la moltiplicazione. Se il radicale è una radice quadrata, puoi rimuovere i numeri e le variabili che si ripetono a coppie da sotto il radicale. Se stai moltiplicando le radici cubiche, puoi rimuovere i numeri e le variabili che si ripetono in unità di tre. Per rimuovere un numero da un quarto segno di radice, il numero deve essere ripetuto quattro volte e così via.
Esempi
1.Moltiplicare√18 × √16
Scomponi i numeri sotto i segni dei radicali e metti quelli che si verificano due volte fuori dal radicale.
\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{3 × 3} × 2 = 3\sqrt{2} \\ \sqrt{16} = \sqrt{4 × 4} = 4 \\ \ ,\\ \implies \sqrt{18} × \sqrt{16} = 3 \sqrt{2} × 4 = 12 \sqrt{2}
2. Moltiplicare
\sqrt[3]{32x^2 y^4} × \sqrt[3]{50x^3y}
Per semplificare le radici cubiche, cerca i fattori all'interno dei segni radicali che si verificano in unità di tre:
\sqrt[3]{32x^2y^4}= \sqrt[3]{(8 × 4)x^2y^4} = \sqrt[3]{[(2 × 2 × 2) × 4]x^ 2 (y × y × y) y} = 2y\sqrt[3]{4x^2y} \\ \,\\ \sqrt[3]{50 x^3y} = \sqrt[3]{50 (x × x × x) y} = x\sqrt[3]{50y}
La moltiplicazione diventa
2y\sqrt[3]{4x^2y} × x\sqrt[3]{50y}
Moltiplicando i termini simili e applicando la regola Product Raised to Power, ottieni:
2xy × \sqrt[3]{200x^2y^2}