Se conosci due punti che cadono su una particolare curva esponenziale, puoi definire la curva risolvendo la funzione esponenziale generale usando quei punti. In pratica, questo significa sostituire i punti per y e x nell'equazione y = abX. La procedura è più semplice se il valore x per uno dei punti è 0, il che significa che il punto si trova sull'asse y. Se nessuno dei due punti ha un valore x zero, il processo per risolvere xey è un po' più complicato.
Perché le funzioni esponenziali sono importanti?
Molti sistemi importanti seguono modelli esponenziali di crescita e decadimento. Ad esempio, il numero di batteri in una colonia di solito aumenta in modo esponenziale e la radiazione ambientale nell'atmosfera a seguito di un evento nucleare di solito diminuisce in modo esponenziale. Prendendo i dati e tracciando una curva, gli scienziati sono in una posizione migliore per fare previsioni.
Da una coppia di punti a un grafico
Qualsiasi punto su un grafico bidimensionale può essere rappresentato da due numeri, che di solito sono scritti in in la forma (x, y), dove x definisce la distanza orizzontale dall'origine e y rappresenta la verticale distanza. Ad esempio, il punto (2, 3) è due unità a destra dell'asse y e tre unità sopra l'asse x. D'altra parte, il punto (-2, -3) è due unità a sinistra dell'asse y. e tre unità sotto l'asse x.
Se hai due punti, (x1, sì1) e (x2, sì2), puoi definire la funzione esponenziale che passa per questi punti sostituendoli nell'equazione y = abX e risolvendo per a e b. In generale, devi risolvere questa coppia di equazioni:
sì1 = abx1 e si2 = abx2, .
In questa forma, la matematica sembra un po' complicata, ma lo è meno dopo aver fatto alcuni esempi.
Un punto sull'asse X
Se uno dei valori x -- dì x1 -- è 0, l'operazione diventa molto semplice. Ad esempio, risolvendo l'equazione per i punti (0, 2) e (2, 4) si ottiene:
2 = ab0 e 4 = ab2. Dal momento che sappiamo che b0 = 1, la prima equazione diventa 2 = a. Sostituendo a nella seconda equazione si ottiene 4 = 2b2, che semplifichiamo in b2 = 2, oppure b = radice quadrata di 2, che equivale a circa 1,41. La funzione di definizione è quindi y = 2 (1.41)X.
Nessuno dei due punti sull'asse X
Se nessuno dei due valori x è zero, risolvere la coppia di equazioni è leggermente più complicato. Henochmath ci guida attraverso un semplice esempio per chiarire questa procedura. Nel suo esempio, ha scelto la coppia di punti (2, 3) e (4, 27). Questo produce la seguente coppia di equazioni:
27 = ab4
3 = ab2
Se dividi la prima equazione per la seconda, ottieni
9 = b2
quindi b = 3. È possibile che anche b sia uguale a -3, ma in questo caso, supponiamo che sia positivo.
Puoi sostituire questo valore per b in entrambe le equazioni per ottenere a. È più facile usare la seconda equazione, quindi:
3 = un (3)2 che può essere semplificato in 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.
L'equazione che passa per questi punti può essere scritta come y = 1/3(3)X.
Un esempio dal mondo reale
Dal 1910, la crescita della popolazione umana è stata esponenziale e, tracciando una curva di crescita, gli scienziati sono in una posizione migliore per prevedere e pianificare il futuro. Nel 1910 la popolazione mondiale era di 1,75 miliardi e nel 2010 era di 6,87 miliardi. Prendendo 1910 come punto di partenza, questo dà la coppia di punti (0, 1,75) e (100, 6,87). Poiché il valore x del primo punto è zero, possiamo facilmente trovare a.
1,75 = ab0 o a = 1,75. Inserendo questo valore, insieme a quelli del secondo punto, nell'equazione esponenziale generale si ottiene 6,87 = 1,75b100, che fornisce il valore di b come centesima radice di 6,87/1,75 o 3,93. Quindi l'equazione diventa y = 1,75 (centesima radice di 3,93)X. Sebbene ci voglia più di un regolo calcolatore per farlo, gli scienziati possono usare questa equazione per proiettare i futuri numeri della popolazione per aiutare i politici nel presente a creare politiche appropriate.