Un grafico a dispersione è un grafico che mostra la relazione tra due insiemi di dati. A volte è utile utilizzare i dati contenuti in un grafico a dispersione per ottenere una relazione matematica tra due variabili. L'equazione di un grafico a dispersione può essere ottenuta manualmente, utilizzando uno dei due modi principali: una tecnica grafica o una tecnica chiamata regressione lineare.
Creazione di un grafico a dispersione
Usa la carta millimetrata per creare un grafico a dispersione. Disegna la X- e sì- assi, assicurarsi che si intersechino ed etichettare l'origine. Assicurarsi che il X- e sì- gli assi hanno anche titoli corretti. Quindi, traccia ogni punto dati all'interno del grafico. Eventuali tendenze tra i set di dati tracciati dovrebbero ora essere evidenti.
Linea di Best Fit
Una volta creato un grafico a dispersione, supponendo che ci sia una correlazione lineare tra due set di dati, possiamo utilizzare un metodo grafico per ottenere l'equazione. Prendi un righello e traccia una linea il più vicino possibile a tutti i punti. Cerca di assicurarti che ci siano tanti punti sopra la linea quanti sono sotto la linea. Una volta che la linea è stata disegnata, usa i metodi standard per trovare l'equazione della linea retta
Equazione della Retta
Una volta che una linea di miglior adattamento è stata posizionata su un grafico a dispersione, è semplice trovare l'equazione. L'equazione generale di una retta è:
y = mx + c
Dove m è la pendenza (gradiente) della linea e c è il sì-intercettare. Per ottenere il gradiente, trova due punti sulla linea. Per questo esempio, supponiamo che i due punti siano (1,3) e (0,1). Il gradiente può essere calcolato prendendo la differenza nelle coordinate y e dividendo per la differenza nelle X-coordinate:
m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2
Il gradiente in questo caso è pari a 2. Finora, l'equazione della retta è
y = 2x + c
Il valore per c si ottiene sostituendo nei valori un punto noto. Seguendo l'esempio, uno dei punti noti è (1,3). Inseriscilo nell'equazione e riorganizza per c:
3 = (2 × 1) + c \\ c = 3 - 2 = 1
L'equazione finale in questo caso è:
y = 2x + 1
Regressione lineare
La regressione lineare è un metodo matematico che può essere utilizzato per ottenere l'equazione lineare di un grafico a dispersione. Inizia inserendo i tuoi dati in una tabella. Per questo esempio, supponiamo di avere i seguenti dati:
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
Calcola la somma dei valori x:
x_{somma} = 4,1 + 6,5 + 12,6 = 23,2
Quindi, calcola la somma dei valori y:
y_{somma} = 2,2 + 4,4 + 10,4 = 17
Ora somma i prodotti di ciascun set di punti dati:
xy_{somma} = (4,1 × 2,2 ) + (6,5 × 4,4 ) + (12,6 × 10,4) = 168,66
Quindi, calcola la somma dei valori x al quadrato e dei valori y al quadrato:
x^2_{somma} = (4.1^2) + (6.5^2) + (12,6^2) = 217,82
y^2_{somma} = (2,2^2) + (4,5^2) + (10,4^2) = 133,25
Infine, conta il numero di punti dati che hai. In questo caso abbiamo tre punti dati (N=3). Il gradiente per la linea più adatta può essere ottenuto da:
m = \frac{(N × xy_{somma}) - (x_{somma} × y_{somma})}{(N × x^2_{somma}) - (x_{somma} × x_{somma})} \\ \, \\ = \frac{(3 × 168,66) - (23,2 × 17)}{(3 × 217,82) - (23,2 × 23,2)} \\ \, \\ = 0,968
L'intercetta per la linea best-fit può essere ottenuta da:
\begin{allineato} c &= \frac{(x^2_{somma} × y_{somma} ) - (x_{somma} × xy_{somma})}{(N × x^2_{somma}) - ( x_{somma} × x_{somma})} \\ \,\\ &= \frac{ (217,82 × 17) - (23,2 × 168,66)}{(3 × 217.82) - (23,2 × 23,2)} \\ \,\\ &= -1,82 \end{allineato}
L'equazione finale è quindi:
y = 0,968x - 1,82