Imparare a gestire gli esponenti costituisce parte integrante di qualsiasi educazione matematica, ma per fortuna le regole per moltiplicarli e dividerli corrispondono alle regole per gli esponenti non frazionari. Il primo passo per capire come gestire gli esponenti frazionari è ottenere un riepilogo di cosa sono esattamente, e poi puoi guardare i modi in cui puoi combinare gli esponenti quando sono moltiplicati o divisi e hanno lo stesso base. In breve, si sommano gli esponenti quando si moltiplicano e si sottraggono l'uno dall'altro quando si divide, purché abbiano la stessa base.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Moltiplica i termini con gli esponenti usando la regola generale:
Xun + Xb = X(un + b)
E dividere i termini con esponenti usando la regola:
Xun ÷ Xb = X(un – b)
Queste regole funzionano con qualsiasi espressione al posto diuneb, anche frazioni.
Cosa sono gli esponenti frazionari?
Gli esponenti frazionari forniscono un modo compatto e utile di esprimere radici quadrate, cubiche e superiori. Il denominatore sull'esponente ti dice quale radice del numero "base" rappresenta il termine. In un termine come
Xun, chiamiXla base eunl'esponente. Quindi un esponente frazionario ti dice:x^{1/2} = \sqrt{x}
Il denominatore di due sull'esponente ti dice che stai prendendo la radice quadrata diXin questa espressione. La stessa regola di base si applica alle radici superiori:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
E
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Questo modello continua. Per un esempio concreto:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
E
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Regole degli esponenti frazionari: moltiplicare gli esponenti frazionari con la stessa base
Moltiplica i termini con esponenti frazionari (purché abbiano la stessa base) sommando gli esponenti. Per esempio:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
DaX1/3 significa "la radice cubica diX", ha perfettamente senso che questo moltiplicato per se stesso due volte dia il risultatoX. Potresti anche imbatterti in esempi comeX1/3 × X1/3, ma li gestisci esattamente allo stesso modo:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Il fatto che l'espressione alla fine sia ancora un esponente frazionario non fa differenza nel processo. Questo può essere semplificato se si nota cheX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Con un'espressione come questa, non importa se prendi prima la radice o il potere. Questo esempio illustra come calcolarli:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Poiché la radice cubica di 8 è facile da calcolare, affrontala come segue:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Quindi questo significa:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Potresti anche incontrare prodotti di esponenti frazionari con numeri diversi nei denominatori delle frazioni e puoi aggiungere questi esponenti nello stesso modo in cui aggiungeresti altre frazioni. Per esempio:
\begin{allineato} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{allineato}
Queste sono tutte espressioni specifiche della regola generale per moltiplicare due espressioni con esponenti:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Regole dell'esponente frazionario: divisione degli esponenti frazionari con la stessa base
Affronta le divisioni di due numeri con esponenti frazionari sottraendo l'esponente che stai dividendo (il divisore) per quello che stai dividendo (il dividendo). Per esempio:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Questo ha senso, perché qualsiasi numero diviso per se stesso è uguale a uno, e questo concorda con il risultato standard che qualsiasi numero elevato a una potenza di 0 è uguale a uno. Il prossimo esempio usa numeri come basi e diversi esponenti:
\begin{allineato} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4 )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{allineato}
Che puoi vedere anche se noti che 161/2 = 4 e 161/4 = 2.
Come con la moltiplicazione, potresti anche ritrovarti con esponenti frazionari che hanno un numero diverso da uno nel numeratore, ma li gestisci allo stesso modo.
Questi esprimono semplicemente la regola generale per la divisione degli esponenti:
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
Moltiplicazione e divisione di esponenti frazionari in basi diverse
Se le basi sui termini sono diverse, non esiste un modo semplice per moltiplicare o dividere gli esponenti. In questi casi è sufficiente calcolare il valore dei singoli termini e quindi eseguire l'operazione richiesta. L'unica eccezione è se l'esponente è lo stesso, nel qual caso puoi moltiplicarli o dividerli come segue:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4