Quando risolvo equazioni quadratiche, quali domande dovrei pormi?

Per molti studenti, la fattorizzazione delle equazioni quadratiche tende ad essere tra gli aspetti più impegnativi di un corso di algebra al liceo o all'università. Il processo richiede una vasta quantità di conoscenze prerequisite, come la familiarità con la terminologia algebrica e la capacità di risolvere equazioni lineari a più fasi. Esistono diversi metodi per risolvere equazioni quadratiche, i più comuni dei quali sono fattorizzazione, rappresentazione grafica e la formula quadratica -- e le domande che dovresti porti variano a seconda del metodo che usi uso.

Indipendentemente dal metodo che stai utilizzando, devi prima chiederti se l'equazione quadratica è impostata su zero. Matematicamente parlando, l'equazione deve essere nella forma ax^2 + bx + c = 0, dove "a", "b" e "c" sono numeri interi e "a" non è uguale a zero. (Vedi Riferimento 1 o Riferimento 2) A volte le equazioni possono già essere presentate in quella forma, ad esempio 3x^2 – x – 10 = 0. Tuttavia, se entrambi i lati del segno di uguale includono termini diversi da zero, è necessario aggiungere o sottrarre termini da un lato per spostarli sull'altro. Ad esempio, in 3x^2 – x – 4 = 6, prima di risolvere devi sottrarre sei da entrambi i lati dell'equazione, per ottenere 3x^2 – x – 10 = 0.

Se stai considerando questo metodo, prima chiediti se il coefficiente del termine al quadrato, "a", è qualcosa di diverso da uno. Se lo è, come nel caso di 3x^2 – x – 10 = 0, dove "a" è tre, considera l'utilizzo di un altro metodo, poiché sarà probabilmente molto più rapido del factoring. Altrimenti, il factoring può essere un metodo rapido ed efficace. Quando scomponi in fattori, chiediti se i numeri che hai inserito tra parentesi si moltiplicano per produrre "c" e si sommano per produrre "b". Ad esempio, se nel risolvere x^2 – 5x – 36 = 0, hai scritto (x – 9)(x + 4) = 0, sei sulla strada giusta perché -9 * 4 = -36 e -9 + 4 = -5.

Prima di iniziare questo metodo, assicurati di avere una calcolatrice grafica. In caso contrario, selezionare un altro metodo, poiché la creazione di grafici a mano sarà ingombrante. Dopo aver inserito l'equazione e ottenuto il grafico, chiediti se la dimensione della finestra di visualizzazione ti consente di trovare la soluzione. Graficamente, le soluzioni per un'equazione quadratica sono costituite dai valori x dei punti in cui la parabola interseca l'asse x. A seconda della particolare equazione, se la finestra di visualizzazione è troppo piccola, potresti non essere in grado di vedere questi punti. Ad esempio, in x^2 – 11x – 26 = 0, è immediatamente evidente che una delle soluzioni è x = -2, ma la seconda la soluzione probabilmente non è visibile perché è un numero maggiore delle impostazioni standard della finestra sulla maggior parte dei grafici calcolatrici. Per trovare la seconda soluzione, aumentare i valori x nelle impostazioni della finestra finché non è visibile; in questo esempio, aumenta il valore massimo finché non puoi vedere che la parabola attraversa l'asse x in x = 13.

Il metodo della formula quadratica può essere un metodo efficace perché funziona per risolvere qualsiasi equazione quadratica, comprese quelle con radici irrazionali o immaginarie. La formula quadratica è: x = [-b più o meno la radice quadrata di (b^2 – 4ac)] / (2a)]. Quando inserisci valori nella formula quadratica, chiediti se hai identificato correttamente "a", "b" e "c". Ad esempio, in 8x^2 – 22x – 6 = 0, a = 8, b = -22 e c = -6. Chiediti anche se "b" è negativo: in tal caso, sarà positivo nella prima parte della formula quadratica. Trascurare di invertire il segno di "b" in questo caso è un errore comune che fanno molti studenti. Ad esempio, l'esempio restituisce [22 più o meno la radice quadrata di (-22^2 – 4_8_-6) / (2*8)]. Semplifica attentamente i termini, chiedendoti se stai gestendo correttamente i numeri negativi e applicando l'ordine delle operazioni. Se segui l'esempio, dovresti ottenere x = 3 e x = -0,25.