Quando hai introdotto per la prima volta i sistemi di equazioni, probabilmente hai imparato a risolvere un sistema di equazioni a due variabili mediante grafici. Ma risolvere equazioni con tre o più variabili richiede una nuova serie di trucchi, vale a dire le tecniche di eliminazione o sostituzione.
Scegli due equazioni qualsiasi e combinale per eliminare una delle variabili. In questo esempio, l'aggiunta dell'equazione n. 1 e dell'equazione n. 2 annulleràsìvariabile, lasciandoti con la seguente nuova equazione:
Nuova equazione n. 1:
7x - 2z = 12
Ripeti il passaggio 1, questa volta combinando adiversoinsieme di due equazioni ma eliminando ilstessovariabile. Considera l'equazione n. 2 e l'equazione n. 3:
Equazione n. 2:
5x - y - 5z = 2
Equazione #3:
x + 2y - z = 7
In questo caso ilsìvariabile non si annulla immediatamente. Quindi, prima di sommare le due equazioni, moltiplica entrambi i lati dell'equazione n. 2 per 2. Questo ti dà:
Equazione n. 2 (modificata):
10x - 2y - 10z = 4
Equazione #3:
x + 2y - z = 7
Ora il 2sìi termini si annulleranno a vicenda, dandoti un'altra nuova equazione:
Nuova equazione n. 2:
11x - 11z = 11
Combina le due nuove equazioni che hai creato, con l'obiettivo di eliminare un'altra variabile:
Nuova equazione n. 1:
7x - 2z = 12
Nuova equazione n. 2:
11x - 11z = 11
Nessuna variabile si annulla ancora, quindi dovrai modificare entrambe le equazioni. Moltiplica entrambi i lati della prima nuova equazione per 11, e moltiplica entrambi i lati della seconda nuova equazione per -2. Questo ti dà:
Nuova equazione n. 1 (modificata):
77x – 22z = 132
Nuova equazione n. 2 (modificata):
-22x + 22z = -22
Aggiungi entrambe le equazioni insieme e semplifica, il che ti dà:
x = 2
Ora che conosci il valore diX, puoi sostituirlo nelle equazioni originali. Questo ti dà:
Equazione sostituita n. 1:
y + 3z = 6
Equazione sostituita n. 2:
-y - 5z = -8
Equazione sostituita n. 3:
2y - z = 5
Scegli due delle nuove equazioni e combinale per eliminare un'altra delle variabili. In questo caso, l'aggiunta di Equazione sostituita #1 e Equazione sostituita #2 rendesìcancella bene. Dopo aver semplificato, avrai:
z = 1
Sostituisci il valore del passaggio 5 in una qualsiasi delle equazioni sostituite, quindi risolvi per la variabile rimanente,y.Considera l'equazione sostituita n. 3:
Equazione sostituita n. 3:
2y - z = 5
Sostituendo nel valore perzti dà 2sì– 1 = 5 e risolvendo persìti porta a:
y = 3
Quindi la soluzione per questo sistema di equazioni èX = 2, sì= 3 ez = 1.
Nota che entrambi i metodi per risolvere il sistema di equazioni ti hanno portato alla stessa soluzione: (X = 2, sì = 3, z= 1). Controlla il tuo lavoro sostituendo questo valore in ciascuna delle tre equazioni.