I tre metodi più comunemente usati per risolvere i sistemi di equazioni sono la sostituzione, l'eliminazione e le matrici aumentate. La sostituzione e l'eliminazione sono metodi semplici che possono risolvere efficacemente la maggior parte dei sistemi di due equazioni in pochi semplici passaggi. Il metodo delle matrici aumentate richiede più passaggi, ma la sua applicazione si estende a una maggiore varietà di sistemi.
Sostituzione
La sostituzione è un metodo per risolvere sistemi di equazioni rimuovendo tutte tranne una delle variabili in una delle equazioni e quindi risolvendo quell'equazione. Ciò si ottiene isolando l'altra variabile in un'equazione e quindi sostituendo i valori per queste variabili in un'altra un'altra equazione. Ad esempio, per risolvere il sistema di equazioni x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolare la variabile x nella prima equazione per ottenere x = 4 - y, quindi sostituire questo valore di y nella seconda equazione per ottenere 2(4 - y) - 3y = 3. Questa equazione si semplifica in -5y = -5 o y = 1. Inserisci questo valore nella seconda equazione per trovare il valore di x: x + 1 = 4 o x = 3.
Eliminazione
L'eliminazione è un altro modo per risolvere i sistemi di equazioni riscrivendo una delle equazioni in termini di una sola variabile. Il metodo di eliminazione ottiene ciò aggiungendo o sottraendo equazioni l'una dall'altra per annullare una delle variabili. Ad esempio, sommando le equazioni x + 2y = 3 e 2x - 2y = 3 si ottiene una nuova equazione, 3x = 6 (si noti che i termini y vengono annullati). Il sistema viene quindi risolto utilizzando gli stessi metodi della sostituzione. Se è impossibile cancellare le variabili nelle equazioni, sarà necessario moltiplicare l'intera equazione per un fattore per far combaciare i coefficienti.
Matrice aumentata
Le matrici aumentate possono essere utilizzate anche per risolvere sistemi di equazioni. La matrice aumentata è costituita da righe per ogni equazione, colonne per ogni variabile e una colonna aumentata che contiene il termine costante dall'altra parte dell'equazione. Ad esempio, la matrice aumentata per il sistema di equazioni 2x + y = 4, 2x - y = 0 è [[2 1], [2 -1]...[4, 0]].
Determinazione della soluzione
Il passaggio successivo prevede l'utilizzo di operazioni di riga elementari come la moltiplicazione o la divisione di una riga per una costante diversa da zero e l'aggiunta o la sottrazione di righe. L'obiettivo di queste operazioni è convertire la matrice in una forma a scaglioni di riga, in cui la prima voce diversa da zero in ciascuna riga è un 1, voci sopra e sotto questa voce ci sono tutti zeri e la prima voce diversa da zero per ogni riga è sempre a destra di tutte queste voci nelle righe Oltre a questo. La forma a scaglioni di riga per la matrice precedente è [[1 0], [0 1]...[1, 2]]. Il valore della prima variabile è dato dalla prima riga (1x + 0y = 1 o x = 1). Il valore della seconda variabile è dato dalla seconda riga (0x + 1y = 2 oppure y = 2).
Applicazioni
La sostituzione e l'eliminazione sono metodi più semplici per risolvere le equazioni e sono usati molto più frequentemente delle matrici aumentate nell'algebra di base. Il metodo di sostituzione è particolarmente utile quando una delle variabili è già isolata in una delle equazioni. Il metodo di eliminazione è utile quando il coefficiente di una delle variabili è lo stesso (o il suo equivalente negativo) in tutte le equazioni. Il vantaggio principale delle matrici aumentate è che può essere utilizzato per risolvere sistemi di tre o più equazioni in situazioni in cui la sostituzione e l'eliminazione sono irrealizzabili o impossibili.