L'algebra elementare è una delle branche principali della matematica. L'algebra introduce il concetto di utilizzo delle variabili per rappresentare i numeri e definisce le regole su come manipolare le equazioni che contengono queste variabili. Le variabili sono importanti perché consentono la formulazione di leggi matematiche generalizzate e consentono l'introduzione di numeri incogniti nelle equazioni. Sono questi numeri sconosciuti che sono al centro dei problemi di algebra, che di solito ti spingono a risolvere per la variabile indicata. Le variabili "standard" in algebra sono spesso rappresentate come x e y.
Risolvere equazioni lineari e paraboliche
Sposta qualsiasi valore costante dal lato dell'equazione con la variabile all'altro lato del segno di uguale. Ad esempio, per l'equazione
4x^2 + 9 = 16
sottrarre 9 da entrambi i lati dell'equazione per rimuovere il 9 dal lato variabile:
4x^2 + 9 - 9 = 16 - 9
che semplifica a
4x^2 = 7
Dividere l'equazione per il coefficiente del termine variabile. Per esempio,
\text{se } 4x^2 = 7 \text{ allora } \frac{4x^2}{4} = \frac{7}{4}
che risulta in
x^2 = 1,75
Prendi la radice propria dell'equazione per rimuovere l'esponente della variabile. Per esempio,
\text{se } x^2 = 1,75 \text{ allora } \sqrt{x^2} = \sqrt{1,75}
che risulta in
x = 1.32
Risolvi per la variabile indicata con i radicali
Isolare l'espressione contenente la variabile utilizzando il metodo aritmetico appropriato per annullare la costante a lato della variabile. Ad esempio, se
\sqrt{x + 27} + 11 = 15
isolaresti la variabile usando la sottrazione:
\sqrt{x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Eleva entrambi i membri dell'equazione alla potenza della radice della variabile per eliminare la variabile dalla radice. Per esempio,
\sqrt{x + 27} = 4 \text{ poi } (\sqrt{x + 27})^2 = 4^2
che ti dà
x + 27 = 16
Isolare la variabile utilizzando il metodo aritmetico appropriato per annullare la costante a lato della variabile. Ad esempio, se
x + 27 = 16
usando la sottrazione:
x = 16 - 27 = -11
Risolvere equazioni quadratiche
Imposta l'equazione uguale a zero. Ad esempio, per l'equazione
2x^2 - x = 1
sottrarre 1 da entrambi i membri per impostare l'equazione a zero
2x^2 - x - 1 = 0
Fattorizza o completa il quadrato della quadratica, a seconda di quale sia più facile. Ad esempio, per l'equazione
2x^2 - x - 1 = 0
è più facile scomporre così:
2x^2 - x - 1 = 0 \text{ diventa } (2x + 1)(x - 1) = 0
Risolvi l'equazione per la variabile. Ad esempio, se
(2x + 1)(x - 1) = 0
allora l'equazione è uguale a zero quando:
2x + 1 = 0
Implica che
2x = -1 \text{, quindi } x = -\frac{1}{2}
o quando
\text{quando } x - 1 = 0\text{, ottieni } x = 1
Queste sono le soluzioni dell'equazione quadratica.
Un risolutore di equazioni per le frazioni
Fattorizzare ogni denominatore. Per esempio,
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{x^2 - 9}
può essere scomposto per diventare:
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
Moltiplica ciascun lato dell'equazione per il minimo comune multiplo dei denominatori. Il minimo comune multiplo è l'espressione in cui ogni denominatore può dividersi equamente. Per l'equazione
\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3} = \frac{10}{(x - 3)(x + 3)}
il minimo comune multiplo è (X − 3)(X+ 3). Così,
(x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}\bigg) = (x - 3)(x + 3)\bigg (\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
diventa
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
Annulla i termini e risolvi perX. Ad esempio, annullando i termini per l'equazione
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} + \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = (x - 3)(x + 3) \bigg(\frac{10}{(x - 3)(x + 3)}\bigg)
dà:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Porta a
2x = 10 \testo{ e } x = 5
Trattare con le equazioni esponenziali
Isolare l'espressione esponenziale annullando eventuali termini costanti. Per esempio,
100×(14^x) + 6 = 10
diventa
\begin{allineato} 100×(14^x) + 6 - 6 &= 10 - 6 \\ &= 4 \end{allineato}
Cancella il coefficiente della variabile dividendo entrambi i membri per il coefficiente. Per esempio,
100×(14^x) = 4
diventa
\frac{100×(14^x)}{100} = \frac{4}{100} \\ \,\\ 14^x = 0,04
Prendi il logaritmo naturale dell'equazione per ridurre l'esponente che contiene la variabile. Per esempio,
14^x = 0,04
può essere scritto come (usando alcune proprietà dei logaritmi):
\ln (14^x)= \ln (0.04) \\ x × \ln (14) = \ln\bigg(\frac{1}{25}\bigg) \\ x × \ln (14) = \ ln (1) - \ln (25) \\ x × \ln (14) = 0 - \ln (25)
Risolvi l'equazione per la variabile. Per esempio,
x × \ln (14) = 0 - \ln (25) \text{ diventa } x = \frac{-\ln (25)}{\ln (14)} = -1,22
Una soluzione per le equazioni logaritmiche
Isolare il log naturale della variabile. Ad esempio, l'equazione
2\ln (3x) = 4 \text{ diventa } \ln (3x) = \frac{4}{2} = 2
Converti l'equazione logaritmica in un'equazione esponenziale elevando il logaritmo a un esponente della base appropriata. Per esempio,
\ln (3x) = 2
diventa:
e^{\ln (3x)}= e^2
Risolvi l'equazione per la variabile. Per esempio,
e^{\ln (3x)}= e^2
diventa
\frac{3x}{3} = \frac{e^2}{3} \text{ quindi } x = 2.46
