Per trovare una funzione inversa in matematica, devi prima avere una funzione. Può essere quasi qualsiasi insieme di operazioni per la variabile indipendenteXche produce un valore per la variabile dipendentesì. In generale, per determinare l'inversa di una funzione diX, sostitutosìperXeXpersìnella funzione, quindi risolvi perX.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
In generale, per trovare l'inversa di una funzione diX, sostitutosìperXeXpersìnella funzione, quindi risolvi perX.
Funzione inversa definita
La definizione matematica di una funzione è una relazione (X, sì) per cui un solo valore disìesiste per qualsiasi valore diX. Ad esempio, quando il valore diXè 3, la relazione è una funzione sesìha un solo valore, ad esempio 10. L'inversa di una funzione prende ilsìvalori della funzione originale come propri itsXvalori, e producesìvalori che sono la funzione originaleXvalori. Ad esempio, se la funzione originale ha restituito ilsìvalori 1, 3 e 10 quando èXvariabile avesse i valori 0, 1 e 2, la funzione inversa ritornerebbe
sìvalori 0, 1 e 2 quando èXvariabile aveva i valori 1, 3 e 10. In sostanza, una funzione inversa scambia ilXesìvalori dell'originale. In linguaggio matematico, se la funzione originale è f(X) e l'inverso è g(X), poig (f(x)) = x
Approccio algebrico per la funzione inversa
Per trovare l'inversa di una funzione che coinvolge le due variabili,Xesì, sostituisci ilXtermini consìe ilsìtermini conX, e risolvi perX. Prendiamo ad esempio l'equazione lineare,sì = 7X − 15.
y = 7x - 15 \quad \text{(Funzione originale)} \\ \,\\ x = 7y - 15 \quad \text{(Sostituisci y con xex con y)}\\ \,\\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \quad \text{(Aggiungi 15 a entrambi lati.)} \\ \,\\ x + 15 = 7y \quad \text{(Semplifica)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = \frac{7y}{7} \ quad\text{(Dividi entrambi i lati per 7.)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = y \quad\text{(Semplifica)}
La funzione, (X + 15) / 7 = sìè l'inverso dell'originale.
Funzioni trigonometriche inverse
Per trovare l'inversa di una funzione trigonometrica, vale la pena conoscere tutte le funzioni trigonometriche e le loro inverse. Ad esempio, se vuoi trovare l'inverso disì= peccato(X), devi sapere che l'inversa della funzione seno è la funzione arcoseno; nessuna semplice algebra ti porterà lì senza arcsin(X). Le altre funzioni trigonometriche, coseno, tangente, cosecante, secante e cotangente, hanno rispettivamente le funzioni inverse arcocoseno, arcotangente, arcocosecante, arcosecante e arcocotangente. Ad esempio, l'inverso disì= cos(X) èsì= arcos(X).
Grafico di funzione e inverso
Interessante il grafico di una funzione e del suo inverso. Quando tracciate le due curve, tracciate una linea corrispondente alla funzione,sì = X, noterai che la linea appare come uno "specchio". Qualsiasi curva o linea sottosì = Xè “riflesso” simmetricamente al di sopra di esso. Questo è vero per qualsiasi funzione, sia polinomiale, trigonometrica, esponenziale o lineare. Usando questo principio, puoi illustrare graficamente l'inverso di una funzione rappresentando graficamente la funzione originale, disegnando la linea asì = X, quindi disegnando le curve o le linee necessarie per creare una "immagine speculare" che abbiasì = Xcome asse di simmetria.