Cosa sono i numeri reali?

I numeri reali sono tutti i numeri su una retta numerica che si estende dall'infinito negativo allo zero fino all'infinito positivo. Questa costruzione dell'insieme dei numeri reali non è arbitraria ma piuttosto il risultato di un'evoluzione dai numeri naturali utilizzati per il conteggio. Il sistema dei numeri naturali ha diverse incongruenze e, man mano che i calcoli diventavano più complessi, il sistema numerico si espandeva per affrontare i suoi limiti. Con i numeri reali, i calcoli danno risultati coerenti e ci sono poche eccezioni o limitazioni come erano presenti con le versioni più primitive del sistema numerico.

TL; DR (troppo lungo; non ho letto)

L'insieme dei numeri reali è costituito da tutti i numeri su una retta numerica. Questo include numeri naturali, numeri interi, interi, numeri razionali e numeri irrazionali. Non include numeri immaginari o numeri complessi.

La chiusura è la proprietà di un insieme di numeri, il che significa che se i calcoli consentiti vengono eseguiti su numeri membri dell'insieme, le risposte saranno anche numeri membri dell'insieme. L'insieme si dice chiuso.

I numeri naturali sono i numeri che contano, 1, 2, 3... e l'insieme dei numeri naturali non è chiuso. Poiché i numeri naturali venivano usati nel commercio, sorsero immediatamente due problemi. Mentre i numeri naturali contavano oggetti reali, ad esempio le mucche, se un agricoltore aveva cinque mucche e ne vendeva cinque, non c'era un numero naturale per il risultato. I primi sistemi di numerazione svilupparono molto rapidamente un termine per zero per affrontare questo problema. Il risultato è stato il sistema di numeri interi, ovvero i numeri naturali più zero.

Anche il secondo problema era legato alla sottrazione. Finché i numeri contavano oggetti reali come le mucche, l'agricoltore non poteva vendere più mucche di quante ne avesse. Ma quando i numeri sono diventati astratti, la sottrazione di numeri più grandi da quelli più piccoli ha dato risposte al di fuori del sistema dei numeri interi. Di conseguenza, sono stati introdotti gli interi, che sono i numeri interi più i numeri naturali negativi. Il sistema numerico ora includeva una linea numerica completa ma solo con numeri interi.

I calcoli in un sistema numerico chiuso dovrebbero fornire risposte dall'interno del sistema numerico per operazioni come addizione e moltiplicazione ma anche per le loro operazioni inverse, sottrazione e divisione. Il sistema degli interi è chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione ma non per divisione. Se un intero viene diviso per un altro intero, il risultato non è sempre un intero.

Dividendo un numero piccolo per uno più grande si ottiene una frazione. Tali frazioni sono state aggiunte al sistema numerico come numeri razionali. I numeri razionali sono definiti come qualsiasi numero che può essere espresso come rapporto tra due interi. Qualsiasi numero decimale arbitrario può essere espresso come un numero razionale. Ad esempio 2,864 è 2864/1000 e 0,89632 è 89632/100.000. La linea dei numeri ora sembrava completa.

Ci sono numeri sulla linea dei numeri che non possono essere espressi come una frazione di numeri interi. Uno è il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo e l'ipotenusa. Se due dei lati di un triangolo rettangolo sono 1 e 1, l'ipotenusa è la radice quadrata di 2. La radice quadrata di due è un decimale infinito che non si ripete. Tali numeri sono chiamati irrazionali e includono tutti i numeri reali che non sono razionali. Con questa definizione, la linea dei numeri di tutti i numeri reali è completa perché qualsiasi altro numero reale non razionale è incluso nella definizione di irrazionale.

Sebbene si dica che la linea dei numeri reali si estenda dall'infinito negativo a quello positivo, l'infinito stesso non è a numero reale ma piuttosto un concetto del sistema numerico che lo definisce come una quantità maggiore di qualsiasi numero. Matematicamente l'infinito è la risposta a 1/x quando x raggiunge lo zero, ma la divisione per zero non è definita. Se l'infinito fosse un numero, porterebbe a contraddizioni perché l'infinito non segue le leggi dell'aritmetica. Ad esempio, infinito più 1 è ancora infinito.

L'insieme dei numeri reali è chiuso per addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione ad eccezione della divisione per zero, che non è definita. Il set non viene chiuso per almeno un'altra operazione.

Le regole di moltiplicazione nell'insieme dei numeri reali specificano che la moltiplicazione di un negativo e a il numero positivo dà un numero negativo mentre la moltiplicazione di numeri positivi o negativi dà un positivo risposte. Ciò significa che il caso speciale della moltiplicazione di un numero da solo produce un numero positivo sia per i numeri positivi che per quelli negativi. L'inverso di questo caso speciale è la radice quadrata di un numero positivo, che dà sia una risposta positiva che negativa. Per la radice quadrata di un numero negativo, non c'è risposta nell'insieme dei numeri reali.

Il concetto di insieme di numeri immaginari affronta il problema delle radici quadrate negative nei numeri reali. La radice quadrata di meno 1 è definita come i e tutti i numeri immaginari sono multipli di i. Per completare la teoria dei numeri, l'insieme dei numeri complessi è definito come comprendente tutti i numeri reali e tutti i numeri immaginari. I numeri reali possono continuare a essere visualizzati su una linea numerica orizzontale mentre i numeri immaginari sono una linea numerica verticale, con i due che si intersecano a zero. I numeri complessi sono punti nel piano delle due rette numeriche, ciascuna con una componente reale e una immaginaria.