Stai navigando attraverso i tuoi compiti allora... eh. Una disuguaglianza con molti negativi e valori assoluti. Aiuto! Quando capovolgi il segno della disuguaglianza?
Niente paura! Ci sono un paio di occasioni in cui capovolgi la disuguaglianza e le esamineremo di seguito.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
Capovolgi il segno della disuguaglianza quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una disuguaglianza per un numero negativo.
Spesso è anche necessario invertire il segno della disuguaglianza quando si risolvono le disuguaglianze con valori assoluti.
Moltiplicare e dividere le disuguaglianze per numeri negativi
La situazione principale in cui dovrai invertire il segno della disuguaglianza è quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una disuguaglianza per un numero negativo.
Si consideri ad esempio il seguente problema:
3_x_ + 6 > 6_x_ + 12
Per risolvere, devi ottenere tutti i X-es sullo stesso lato della disuguaglianza. Sottrai 6_x_ da entrambi i lati per avere solo X sulla sinistra.
3_x_ −6_x_ + 6 > 6_x_ −6_x_ + 12
-3_x_ + 6 > 12
Ora isola il X sul lato sinistro spostando la costante, 6, dall'altra parte della disuguaglianza. Per fare ciò, sottrai 6 da entrambi i lati.
− 3_x_ + 6 − 6 > 12 − 6
-3_x_ > 6
Ora dividi entrambi i lati della disuguaglianza per -3. Poiché stai dividendo per un numero negativo, devi invertire il segno di disuguaglianza.
−3_x_ (÷ −3) < 6 (÷ − 3)
x < − 2.
La stessa regola si applica se moltiplichi entrambi i membri per una frazione. Moltiplicare e dividere sono inversi dello stesso processo, un po' come l'addizione e la sottrazione, quindi le stesse regole si applicano a entrambi.
Problemi di valore assoluto
Devi anche pensare a capovolgere il segno della disuguaglianza quando hai a che fare con problemi di valore assoluto.
Prendi il seguente esempio. Se hai:
| 3_x_ | + 6 < 12,
Quindi prima di tutto vuoi isolare l'espressione del valore assoluto sul lato sinistro della disuguaglianza (rende la vita più facile). Sottrai 6 da entrambi i membri per ottenere:
| 3_x_ | < 6.
Ora, devi riscrivere questa espressione come a disuguaglianza composta. | 3_x_ | < 6 può essere scritto in due modi:
3_x_ < 6 (la versione "positiva"), oppure
3_x_ > -6 (la versione "negativa").
Queste due affermazioni possono anche essere scritte in una sola riga:
−6 < 3_x_ < 6.
L'output di un'espressione di valore assoluto è sempre positivo, ma il "X" all'interno del valore assoluto i segni potrebbero essere negativi, quindi dobbiamo considerare il caso in cui X è negativo. Sostanzialmente stiamo moltiplicando per −1: stiamo moltiplicando X da uno negativo a sinistra (ma essendo all'interno di segni di valore assoluto l'esito è comunque positivo), e poi stiamo moltiplicando il membro destro per uno negativo e scambiando il segno di disuguaglianza perché abbiamo appena moltiplicato per a negativo.
Questo ci dà le nostre due disuguaglianze (o la nostra "disuguaglianza composta"). Possiamo facilmente risolverli entrambi.
3_x_ < 6 diventa X < 2 una volta che dividiamo entrambi i membri per 3.
3_x_ > −6 diventa X > -2 dopo aver diviso entrambi i membri per 3.
Quindi la soluzione è X < 2 e X > -2 o -2 < X < 2.
Questo tipo di problemi richiede un po' di pratica, quindi non preoccuparti se all'inizio non lo capisci! Continua così e alla fine diventerà una seconda natura.