Risolvere funzioni polinomiali è un'abilità chiave per chiunque studi matematica o fisica, ma fare i conti con il processo, specialmente quando si tratta di funzioni di ordine superiore, può essere piuttosto impegnativo. Una funzione cubica è uno dei tipi più difficili di equazioni polinomiali che potresti dover risolvere a mano. Anche se potrebbe non essere semplice come risolvere un'equazione quadratica, ci sono un paio di metodi puoi usare per trovare la soluzione di un'equazione cubica senza ricorrere a pagine e pagine di dettaglio algebra.
Che cos'è una funzione cubica?
Una funzione cubica è un polinomio di terzo grado. Una funzione polinomiale generale ha la forma:
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Qui, X è la variabile, n è semplicemente un numero qualsiasi (e il grado del polinomio), K è una costante e le altre lettere sono coefficienti costanti per ogni potenza di X. Quindi una funzione cubica ha n = 3, ed è semplicemente:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Dove in questo caso,
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Ogni soluzione per X si chiama "radice" dell'equazione. Le equazioni cubiche hanno una radice reale o tre, anche se possono essere ripetute, ma c'è sempre almeno una soluzione.
Il tipo di equazione è definito dalla potenza più alta, quindi nell'esempio sopra, non sarebbe un'equazione cubica se a = 0, perché il termine di potenza più alta sarebbe bx2 e sarebbe un'equazione quadratica. Ciò significa che le seguenti sono tutte equazioni cubiche:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
Risolvere utilizzando il teorema dei fattori e la divisione sintetica
Il modo più semplice per risolvere un'equazione cubica prevede un po' di congetture e un tipo di processo algoritmico chiamato divisione sintetica. L'inizio, tuttavia, è sostanzialmente lo stesso del metodo per tentativi ed errori per le soluzioni di equazioni cubiche. Prova a capire quale sia una delle radici indovinando. Se hai un'equazione in cui il primo coefficiente, un, è uguale a 1, allora è un po' più facile indovinare una delle radici, perché sono sempre fattori del termine costante che è rappresentato sopra da d.
Quindi, osservando la seguente equazione, ad esempio:
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Devi indovinare uno dei valori per X, ma poiché un = 1 in questo caso sai che qualunque sia il valore, deve essere un fattore 24. Il primo di questi fattori è 1, ma questo lascerebbe:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Che non è zero, e -1 lascerebbe:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Che di nuovo non è zero. Il prossimo, X = 2 darebbe:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Un altro fallimento. Provando X = -2 dà:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Questo significa X = −2 è una radice dell'equazione cubica. Questo mostra i vantaggi e gli svantaggi del metodo per tentativi ed errori: puoi ottenere la risposta senza molto pensato, ma richiede tempo (soprattutto se devi passare a fattori più alti prima di trovare una radice). Fortunatamente, quando hai trovato una radice, puoi risolvere facilmente il resto dell'equazione.
La chiave è incorporare il teorema dei fattori. Questo afferma che se X = s è una soluzione, allora (X – S) è un fattore che può essere estratto dall'equazione. Per questa situazione, S = -2, e così (X + 2) è un fattore che possiamo tirare fuori per lasciare:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
I termini nel secondo gruppo di parentesi hanno la forma di un'equazione quadratica, quindi se trovi i valori appropriati per un e b, l'equazione può essere risolta.
Questo può essere ottenuto utilizzando la divisione sintetica. Per prima cosa, scrivi i coefficienti dell'equazione originale sulla riga superiore di una tabella, con una linea di divisione e poi la radice nota a destra:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Lascia una riga di riserva, quindi aggiungi una linea orizzontale sotto di essa. Per prima cosa, prendi il primo numero (1 in questo caso) fino alla riga sotto la tua linea orizzontale
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
Ora moltiplica il numero che hai appena abbassato per la radice nota. In questo caso, 1 × -2 = -2, e questo è scritto sotto il numero successivo nell'elenco, come segue:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {Vettore}
Quindi aggiungi i numeri nella seconda colonna e metti il risultato sotto la linea orizzontale:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}
Ora ripeti il processo che hai appena eseguito con il nuovo numero sotto la linea orizzontale: Moltiplica per root, inserisci la risposta nello spazio vuoto nella colonna successiva, quindi aggiungi la colonna per ottenere un nuovo numero sul on riga inferiore. Questo lascia:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{array}
E poi ripetere il processo un'ultima volta.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}
Il fatto che l'ultima risposta sia zero ti dice che hai una radice valida, quindi se questa non è zero, allora hai commesso un errore da qualche parte.
Ora, la riga in basso ti dice i fattori dei tre termini nella seconda serie di parentesi, quindi puoi scrivere:
(x^2 − 7x + 12) = 0
E così:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
Questa è la fase più importante della soluzione e puoi finire da questo punto in poi in molti modi.
Fattorizzazione di polinomi cubici
Una volta rimosso un fattore, puoi trovare una soluzione utilizzando la fattorizzazione. Dal passaggio precedente, questo è fondamentalmente lo stesso problema della fattorizzazione di un'equazione quadratica, che in alcuni casi può essere difficile. Tuttavia, per l'espressione:
(x^2 − 7x + 12)
Se ricordi che i due numeri che metti tra parentesi devono essere sommati per dare il secondo coefficiente (7) e moltiplicati per dare il terzo (12), è abbastanza facile vedere che in questo caso:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Puoi moltiplicarlo per verificare, se lo desideri. Non scoraggiarti se non riesci a vedere subito la fattorizzazione; ci vuole un po' di pratica. Questo lascia l'equazione originale come:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Che puoi vedere immediatamente ha soluzioni su X = -2, 3 e 4 (che sono tutti fattori di 24, la costante originale). In teoria, potrebbe anche essere possibile vedere l'intera fattorizzazione a partire dalla versione originale dell'equazione, ma questo è molto più impegnativo, quindi è meglio trovare una soluzione per tentativi ed errori e utilizzare l'approccio sopra prima di provare a individuare a fattorizzazione.
Se stai lottando per vedere la fattorizzazione, puoi usare la formula dell'equazione quadratica:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\sopra{1pt}2a}
Per trovare le soluzioni rimanenti.
Usando la formula cubica
Sebbene sia molto più grande e meno semplice da gestire, esiste un semplice risolutore di equazioni cubiche sotto forma di formula cubica. È come la formula dell'equazione quadratica in cui hai appena inserito i tuoi valori di un, b, c e d per ottenere una soluzione, ma è solo molto più lungo.
Si afferma che:
x = (q + [q^2 + (r-p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r-p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
dove
p = {−b \sopra{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \above{1pt}6a^2}
e
r = {c \sopra{1pt}3a}
L'uso di questa formula richiede molto tempo, ma se non si desidera utilizzare il metodo di prova ed errore per le soluzioni di equazioni cubiche e quindi la formula quadratica, questo funziona quando si esegue tutto.