Tipi di equazioni algebriche

Esistono cinque tipi principali di equazioni algebriche, distinte per la posizione delle variabili, i tipi di operatori e funzioni utilizzati e il comportamento dei loro grafici. Ogni tipo di equazione ha un input previsto diverso e produce un output con un'interpretazione diversa. Le differenze e le somiglianze tra i cinque tipi di equazioni algebriche e i loro usi dimostrano la varietà e la potenza delle operazioni algebriche.

Monomi e polinomi sono equazioni costituite da termini variabili con esponenti numerici interi. I polinomi sono classificati in base al numero di termini nell'espressione: i monomi hanno un termine, i binomi hanno due termini, i trinomi hanno tre termini. Qualsiasi espressione con più di un termine è chiamata polinomio. I polinomi sono classificati anche per grado, che è il numero dell'esponente più alto nell'espressione. I polinomi di grado uno, due e tre sono chiamati rispettivamente polinomi lineari, quadratici e cubici. L'equazione x^2 - x - 3 è chiamata trinomio quadratico. Le equazioni quadratiche si incontrano comunemente in algebra I e II; il loro grafico, detto parabola, descrive l'arco tracciato da un proiettile sparato in aria.

Le equazioni esponenziali si distinguono dai polinomi in quanto hanno termini variabili negli esponenti. Un esempio di equazione esponenziale è y = 3^(x - 4) + 6. Le funzioni esponenziali sono classificate come crescita esponenziale se la variabile indipendente ha un coefficiente positivo e decadimento esponenziale se ha un coefficiente negativo. Le equazioni di crescita esponenziale sono utilizzate per descrivere la diffusione di popolazioni e malattie, nonché concetti finanziari come l'interesse composto (la formula per l'interesse composto è Pe^(rt), dove P è il capitale, r è il tasso di interesse e t è l'importo di tempo). Le equazioni di decadimento esponenziale descrivono fenomeni come il decadimento radioattivo.

Le funzioni logaritmiche sono l'inverso delle funzioni esponenziali. Per l'equazione y = 2^x, la funzione inversa è y = log2 x. La base logaritmica b di un numero x è uguale all'esponente a cui devi elevare b per ottenere il numero x. Ad esempio, il log2 di 16 è 4 perché da 2 alla 4a potenza è 16. Il numero trascendente "e" è più comunemente usato come base logaritmica; il logaritmo in base e è spesso chiamato logaritmo naturale. Le equazioni logaritmiche sono utilizzate in molti tipi di scale di intensità, come la scala Richter per i terremoti e la scala dei decibel per l'intensità del suono. La scala dei decibel utilizza una base logaritmica 10, il che significa che un aumento di un decibel corrisponde a un aumento di dieci volte dell'intensità del suono.

Le equazioni razionali sono equazioni algebriche della forma p (x) / q (x), dove p (x) e q (x) sono entrambi polinomi. Un esempio di equazione razionale è (x - 4) / (x^2 - 5x + 4). Le equazioni razionali sono note per avere asintoti, che sono valori di y e x che il grafico dell'equazione si avvicina ma non raggiunge mai. Un asintoto verticale di un'equazione razionale è un valore x che il grafico non raggiunge mai: il valore y va all'infinito positivo o negativo quando il valore di x si avvicina all'asintoto. Un asintoto orizzontale è un valore y che il grafico avvicina quando x va all'infinito positivo o negativo.

Le equazioni trigonometriche contengono le funzioni trigonometriche sin, cos, tan, sec, csc e cot. Le funzioni trigonometriche descrivono il rapporto tra due lati di un triangolo rettangolo, prendendo la misura dell'angolo come input o variabile indipendente e il rapporto come output o variabile dipendente. Ad esempio, y = sin x descrive il rapporto tra il lato opposto di un triangolo rettangolo e la sua ipotenusa per un angolo di misura x. Le funzioni trigonometriche sono distinte in quanto sono periodiche, il che significa che il grafico si ripete dopo un certo periodo di tempo. Il grafico di un'onda sinusoidale standard ha un periodo di 360 gradi.