Il modo migliore per fattorizzare i polinomi con le frazioni inizia con la riduzione delle frazioni a termini più semplici. I polinomi rappresentano espressioni algebriche con due o più termini, più precisamente la somma di più termini che hanno espressioni diverse della stessa variabile. Le strategie che aiutano a semplificare i polinomi implicano la scomposizione del fattore comune più grande, seguito dal raggruppamento dell'equazione nei suoi termini più bassi. Lo stesso vale anche quando si risolvono polinomi con frazioni.
Polinomi con frazioni definite
Sono disponibili tre modi per visualizzare la frase polinomi con frazioni. La prima interpretazione riguarda i polinomi con frazioni per coefficienti. In algebra, il coefficiente è definito come la quantità numerica o la costante trovata prima di una variabile. In altre parole, i coefficienti per 7_a_, b e (1/3)c sono rispettivamente 7, 1 e (1/3). Due esempi, quindi, di polinomi con coefficienti frazionari sarebbero:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ e } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
La seconda interpretazione di "polinomi con frazioni" si riferisce a polinomi esistenti in frazione o rapporto forma con numeratore e denominatore, dove il polinomio numeratore è diviso per il denominatore polinomio. Ad esempio, questa seconda interpretazione è illustrata da:
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
La terza interpretazione, nel frattempo, riguarda la scomposizione parziale della frazione, nota anche come espansione parziale della frazione. A volte le frazioni polinomiali sono complesse in modo che quando vengono "scomposte" o "scomposte" in termini più semplici, sono presentati come somme, differenze, prodotti o quozienti di polinomi frazioni. Per illustrare, la frazione polinomiale complessa di:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
viene valutata attraverso la scomposizione parziale di frazioni, che, per inciso, comporta la fattorizzazione di polinomi, per essere, nella sua forma più semplice:
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Nozioni di base sul factoring – Proprietà distributiva e metodo FOIL
I fattori rappresentano due numeri che moltiplicati insieme equivalgono a un terzo numero. Nelle equazioni algebriche, la fattorizzazione determina quali due quantità sono state moltiplicate insieme per arrivare a un dato polinomio. La proprietà distributiva è molto seguita quando si moltiplicano i polinomi. La proprietà distributiva permette essenzialmente di moltiplicare una somma moltiplicando singolarmente ciascun numero prima di sommare i prodotti. Osserva, ad esempio, come viene applicata la proprietà distributiva nell'esempio di :
7(10x + 5) \text{ per arrivare al binomio di } 70x + 35.
Ma, se due binomi vengono moltiplicati insieme, viene utilizzata una versione estesa della proprietà distributiva tramite il metodo FOIL. FOIL rappresenta l'acronimo di First, Outer, Inner e Last che vengono moltiplicati. Quindi, la fattorizzazione dei polinomi comporta l'esecuzione del metodo FOIL all'indietro. Prendi i due esempi sopra menzionati con i polinomi contenenti coefficienti di frazione. L'esecuzione del metodo FOIL all'indietro su ciascuno di essi determina i fattori di
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
per il primo polinomio, e i fattori di
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
per il secondo polinomio.
Esempio:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Esempio:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\bigg)
Passaggi da eseguire quando si scompongono in fattori le frazioni polinomiali
Dall'alto, le frazioni polinomiali coinvolgono un polinomio al numeratore diviso per un polinomio al denominatore. La valutazione delle frazioni polinomiali richiede quindi la fattorizzazione del polinomio numeratore prima, seguita dalla fattorizzazione del polinomio denominatore. Aiuta a trovare il massimo comun divisore, o GCF, tra numeratore e denominatore. Una volta trovato il GCF sia del numeratore che del denominatore, si annulla, riducendo infine l'intera equazione in termini semplificati. Considera l'esempio di frazione polinomiale originale sopra di
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Scomponendo in fattori i polinomi numeratore e denominatore per trovare il GCF si ottiene:
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
con il GCF essendo (X + 2).
Il GCF sia al numeratore che al denominatore si annullano a vicenda per fornire la risposta finale nei termini più bassi di (X + 5) ÷ (X + 9).
Esempio:
\begin{allineato} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{allineato}
Valutazione delle equazioni tramite la scomposizione di frazioni parziali
La scomposizione parziale della frazione, che implica la scomposizione in fattori, è un modo per riscrivere complesse equazioni di frazioni polinomiali in una forma più semplice. Rivisitando l'esempio dall'alto di
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Semplifica il denominatore
Semplifica il denominatore per ottenere:
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Riorganizzare il numeratore
Quindi, riorganizza il numeratore in modo che inizi ad avere i GCF presenti nel denominatore, per ottenere:
\begin{allineato} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{allineato}
Per l'addendo di sinistra, il GCF è (X - 1), mentre per l'addendo destro il GCF è (X + 2), che si annullano al numeratore e al denominatore, come si vede in:
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\cancel{(x - 1)}}{(x + 2)\cancel{(x - 1)}} + \frac{5\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x + 2)}(x - 1) }
Pertanto, quando i GCF si annullano, la risposta semplificata finale è:
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
come soluzione della scomposizione della frazione parziale.