Una distribuzione binomiale descrive una variabile X se 1) c'è un numero fisso n osservazioni della variabile; 2) tutte le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra; 3) la probabilità di successo p è lo stesso per ogni osservazione; e 4) ogni osservazione rappresenta esattamente uno dei due possibili esiti (da cui la parola "binomio" - pensare "binario"). Quest'ultima precisazione distingue le distribuzioni binomiali dalle distribuzioni di Poisson, che variano in modo continuo piuttosto che discreto.
Tale distribuzione può essere scritta B(n, p).
Calcolo della probabilità di una data osservazione
Dì un valore K giace da qualche parte lungo il grafico della distribuzione binomiale, che è simmetrica rispetto alla media np. Per calcolare la probabilità che un'osservazione abbia questo valore, questa equazione deve essere risolta:
P(X = k) = (n: k) p^k (1-p)^{n-k}
dove
(n: k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
Il "!" indica una funzione fattoriale, ad es. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Esempio
Supponiamo che un giocatore di basket esegua 24 tiri liberi e abbia una percentuale di successo stabilita del 75% (
p = 0.75). Quali sono le probabilità che colpisca esattamente 20 dei suoi 24 colpi?Primo calcolo (n: K) come segue:
\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{24!}{ (20!)(4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75^{20} = 0,00317
(1-p)^{n-k} = (0,25)^4 = 0,00390
così
P(20) = 10.626×0.00317×0.00390 = 0.1314
Questo giocatore ha quindi una probabilità del 13,1% di fare esattamente 20 su 24 tiri liberi, in linea con quanto potrebbe intuire. suggerire di una giocatrice che di solito farebbe 18 tiri liberi su 24 (a causa della sua percentuale di successo stabilita del 75 percento).