Non tutte le funzioni algebriche possono essere risolte semplicemente tramite equazioni lineari o quadratiche. La decomposizione è un processo mediante il quale è possibile scomporre una funzione complessa in più funzioni più piccole. In questo modo, puoi risolvere le funzioni in pezzi più brevi e più facili da capire.
Funzioni di scomposizione
Puoi scomporre una funzione di x, espressa come f (x), se una parte dell'equazione può essere espressa anche in funzione di x. Per esempio:
f (x) = 1/(x^2 -2)
Puoi esprimere x^2 - 2 in funzione di x e inserirlo in f (x). Puoi chiamare questa nuova funzione g (x).
g (x) = x^2 - 2f (x) = 1/g (x)
Puoi impostare f (x) uguale a 1/g (x) perché l'output di g (x) sarà sempre x^2 - 2. Ma puoi scomporre ulteriormente questa funzione, esprimendo 1 diviso per una variabile come funzione. Chiama questa funzione h (x):
h (x) = 1/x
Puoi quindi esprimere f (x) come le due funzioni scomposte annidate:
f (x) = h (g (x))
Questo è vero perché:
h (g(x)) = h (x^2 - 2) = 1/(x^2 - 2)
Risolvere utilizzando funzioni scomposte
Le funzioni scomposte vengono risolte dall'interno verso l'esterno. Usando f (x) = h (g (x)), risolvi prima la funzione g, quindi la funzione h con l'output della funzione g.
Per esempio, x = 4. Prima risolvi per g (4).
g (4) = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14
Quindi risolvi h usando l'output di g, in questo caso 14.
h (14) = 1/14
Poiché f (4) è uguale a h (g (4)), f (4) è uguale a 14.
Decomposizioni alternative
La maggior parte delle funzioni che possono essere scomposte può essere scomposta in più modi. Ad esempio, puoi scomporre f (x) utilizzando invece le seguenti funzioni.
j (x) = x^2k (x) = 1/(x - 2)
Ponendo j (x) come variabile per k (x) si ottiene 1/(x^2 - 2), quindi:
f (x) = k (j (x))