Una funzione esprime relazioni tra costanti e una o più variabili. Ad esempio, la funzione f (x) = 5x + 10 esprime una relazione tra la variabile x e le costanti 5 e 10. Conosciuto come derivati ed espresso come dy/dx, df (x)/dx o f'(x), la differenziazione trova il tasso di variazione di una variabile rispetto a un'altra - nell'esempio, f (x) rispetto a x La differenziazione è utile per trovare la soluzione ottima, cioè trovare le condizioni massime o minime. Esistono alcune regole di base per quanto riguarda le funzioni differenzianti.
Differenziare una funzione costante. La derivata di una costante è zero. Ad esempio, se f (x) = 5, allora f'(x) = 0.
Applicare la regola della potenza per differenziare una funzione. La regola della potenza afferma che se f (x) = x^n o x elevato alla potenza n, allora f'(x) = nx^(n - 1) o x elevato alla potenza (n - 1) e moltiplicato per nf. Ad esempio, se f (x) = 5x, allora f'(x) = 5x^(1 - 1) = 5. Allo stesso modo, se f (x) = x^10, allora f'(x) = 9x^9; e se f (x) = 2x^5 + x^3 + 10, allora f'(x) = 10x^4 + 3x^2.
Trova la derivata di una funzione usando la regola del prodotto. Il differenziale di un prodotto non è il prodotto dei differenziali delle sue singole componenti: se f (x) = uv, dove u e v sono due funzioni separate, quindi f'(x) non è uguale a f'(u) moltiplicato per f'(v). Piuttosto, la derivata di un prodotto di due funzioni è la prima per la derivata della seconda, più la seconda per la derivata della prima. Ad esempio, se f (x) = (x^2 + 5x) (x^3), le derivate delle due funzioni sono rispettivamente 2x + 5 e 3x^2. Quindi, usando la regola del prodotto, f'(x) = (x^2 + 5x) (3x^2) + (x^3) (2x + 5) = 3x^4 + 15x^3 + 2x^4 + 5x ^3 = 5x^4 + 20x^3.
Ottieni la derivata di una funzione usando la regola del quoziente. Un quoziente è una funzione divisa per un'altra. La derivata di un quoziente è uguale al denominatore per la derivata del numeratore meno il numeratore per la derivata del denominatore, quindi divisa per il denominatore al quadrato. Ad esempio, se f (x) = (x^2 + 4x) / (x^3), le derivate delle funzioni numeratore e denominatore sono rispettivamente 2x + 4 e 3x^2. Quindi, usando la regola del quoziente, f'(x) = [(x^3) (2x + 4) - (x^2 + 4x) (3x^2)] / (x^3)^2 = (2x^ 4 + 4x^3 - 3x^4 - 12x^3) / x^6 = (-x^4 - 8x^3) / x^6.
Usa derivati comuni. Le derivate delle comuni funzioni trigonometriche, che sono funzioni degli angoli, non devono essere derivate dai primi principi: le derivate di sin x e cos x sono rispettivamente cos x e -sin x. La derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa -- f (x) = f'(x) = e^x, e la derivata della funzione logaritmica naturale, ln x, è 1/x. Ad esempio, se f (x) = sin x + x^2 - 4x + 5, allora f'(x) = cos x + 2x - 4.