Chiunque abbia mai giocato a biliardo conosce la legge di conservazione della quantità di moto, che se ne renda conto o meno.
La legge di conservazione della quantità di moto è fondamentale per comprendere e prevedere cosa succede quando gli oggetti interagiscono o si scontrano. Questa legge prevede i movimenti delle palle da biliardo ed è ciò che decide se quella palla otto arriva o meno nella buca d'angolo.
Che cos'è lo slancio?
Il momento è definito come il prodotto della massa e della velocità di un oggetto. In forma di equazione, questo è spesso scritto comep = mv.
È una quantità vettoriale, il che significa che ha una direzione associata. La direzione del vettore quantità di moto di un oggetto è la stessa direzione del suo vettore velocità.
Il momento di un sistema isolato è la somma dei momenti di ogni singolo oggetto in quel sistema. Un sistema isolato è un sistema di oggetti interagenti che non interagiscono in alcun modo in rete con nient'altro. In altre parole, non vi è alcuna forza esterna netta che agisce sul sistema.
Lo studio della quantità di moto totale in un sistema isolato è importante perché consente di fare previsioni su ciò che accadrà agli oggetti nel sistema durante le collisioni e le interazioni.
Cosa sono le leggi di conservazione?
Prima di intraprendere una comprensione della legge di conservazione della quantità di moto, è importante capire cosa si intende per "quantità conservata".
Conservare qualcosa significa prevenirne in qualche modo lo spreco o la perdita. In fisica una quantità si dice conservata se rimane costante. Potresti aver sentito l'espressione in relazione alla conservazione dell'energia, che è l'idea che l'energia non può essere né creata né distrutta, ma cambia solo forma. Quindi la quantità totale di esso rimane costante.
Quando parliamo di conservazione della quantità di moto, stiamo parlando della quantità totale di quantità di moto che rimane costante. Questa quantità di moto può trasferirsi da un oggetto a un altro all'interno di un sistema isolato ed essere ancora considerata conservata se la quantità di moto totale in quel sistema non cambia.
Seconda legge del moto di Newton e legge di conservazione della quantità di moto
La legge di conservazione della quantità di moto può essere derivata dalla seconda legge del moto di Newton. Ricordiamo che questa legge riguardava la forza netta, la massa e l'accelerazione di un oggetto comeFnetto = ma.
Il trucco qui è pensare che questa forza netta agisca su un sistema nel suo insieme. La legge di conservazione della quantità di moto si applica quando la forza netta sul sistema è 0. Ciò significa che, per ogni oggetto del sistema, le uniche forze che possono essere esercitate su di esso devono provenire da altri oggetti all'interno del sistema, oppure essere annullate in qualche modo.
Le forze esterne possono essere attrito, gravità o resistenza dell'aria. Questi devono o non agire, o devono essere contrastati, al fine di rendere la forza netta sul sistema 0.
Puoi iniziare la derivazione con l'istruzioneFnetto = ma = 0.
Ilmin questo caso è la massa dell'intero sistema. L'accelerazione in questione è l'accelerazione netta del sistema, che si riferisce all'accelerazione del centro di massa del sistema (il centro di massa è la posizione media del sistema totale massa.)
Affinché la forza netta sia 0, anche l'accelerazione deve essere 0. Poiché l'accelerazione è la variazione della velocità nel tempo, ciò implica che la velocità non deve cambiare. In altre parole, la velocità è costante. Quindi otteniamo l'affermazione chemvcm= costante.
Dovevcmè la velocità del centro di massa, data dalla formula:
v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2 + ...}{m_1 + m_2 + ...}
Quindi ora l'affermazione si riduce a:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \text{costante}
Questa è l'equazione che descrive la conservazione della quantità di moto. Ogni termine è il momento di uno degli oggetti nel sistema e la somma di tutti i momenti deve essere costante. Un altro modo per esprimere questo è affermando:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} +... = m_1v_{1f} + m_2v_{2f} + ...
Dove il pediceiosi riferisce ai valori iniziali efai valori finali, che di solito si verificano prima e dopo una sorta di interazione, come una collisione tra oggetti in un sistema.
Collisioni elastiche e anelastiche
La ragione per cui la legge di conservazione della quantità di moto è importante è che può permetterti di risolvere per an velocità finale sconosciuta o simili per oggetti in un sistema isolato che potrebbero scontrarsi con ciascuno altro.
Ci sono due modi principali in cui può verificarsi una tale collisione: elasticamente o anelasticamente.
Una collisione perfettamente elastica è quella in cui gli oggetti in collisione rimbalzano l'uno sull'altro. Questo tipo di collisione è caratterizzato dalla conservazione dell'energia cinetica. L'energia cinetica di un oggetto è data dalla formula:
KE = \frac{1}{2}mv^2
Se si conserva l'energia cinetica, la somma delle energie cinetiche di tutti gli oggetti nel sistema deve rimanere costante sia prima che dopo eventuali collisioni. L'uso della conservazione dell'energia cinetica insieme alla conservazione della quantità di moto può consentire di risolvere più di una velocità finale o iniziale in un sistema in collisione.
Una collisione perfettamente anelastica è quella in cui quando due oggetti si scontrano, si attaccano l'uno all'altro e si muovono successivamente come una massa singolare. Questo può anche semplificare un problema perché devi solo determinare una velocità finale invece di due.
Mentre la quantità di moto si conserva in entrambi i tipi di urti, l'energia cinetica si conserva solo in un urto elastico. La maggior parte delle collisioni nella vita reale non sono né perfettamente elastiche né perfettamente anelastiche, ma si trovano da qualche parte nel mezzo.
Conservazione del momento angolare
Ciò che è stato descritto nella sezione precedente è la conservazione della quantità di moto lineare. C'è un altro tipo di momento che si applica al movimento rotatorio che è chiamato momento angolare.
Come per il momento lineare, si conserva anche il momento angolare. Il momento angolare dipende dalla massa di un oggetto e dalla distanza di tale massa da un asse di rotazione.
Quando un pattinatore artistico gira, lo vedrai ruotare più velocemente mentre avvicina le braccia al corpo. Questo perché il loro momento angolare si conserva solo se la loro velocità di rotazione aumenta in proporzione a quanto avvicinano le braccia al centro.
Esempi di problemi di conservazione della quantità di moto
Esempio 1:Due palle da biliardo di massa uguale rotolano l'una verso l'altra. Uno sta viaggiando con una velocità iniziale di 2 m/s e l'altro sta viaggiando con una velocità di 4 m/s. Se il loro urto è perfettamente elastico, qual è la velocità finale di ciascuna pallina?
Soluzione 1:È importante quando si risolve questo problema scegliere un sistema di coordinate. Poiché tutto sta accadendo in linea retta, potresti decidere che il movimento a destra è positivo e il movimento a sinistra è negativo. Supponiamo che la prima pallina viaggi verso destra a 2 m/s. La velocità della seconda palla è quindi -4 m/s.
Scrivi un'espressione per la quantità di moto totale del sistema prima dell'urto, così come l'energia cinetica totale del sistema prima dell'urto:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2
Inserisci i valori per ottenere un'espressione per ciascuno:
m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = 2m - 4m = -2m \\ \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac {1}{2}m (2)^2 + \frac{1}{2}m(-4)^2 = 10m
Nota che poiché non ti sono stati dati valori per le masse, rimangono sconosciuti, sebbene entrambe le masse fossero le stesse, il che ha consentito una certa semplificazione.
Dopo l'urto, le espressioni per quantità di moto ed energia cinetica sono:
mv_{1f} + mv_{2f} \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2}mv_{2f}^2
Impostando i valori iniziali uguali ai valori finali di ciascuno, è possibile annullare le masse. Ti rimane quindi un sistema di due equazioni e due incognite:
mv_{1f} + mv_{2f} = -2m \implies v_{1f} + v{2f} = -2 \\ \frac{1}{2}mv_{1f}^2 + \frac{1}{2 }mv_{2f}^2 = 10m \implica v_{1f}^2 + v{2f}^2 = 20
Risolvendo il sistema algebricamente si ottengono le seguenti soluzioni:
v_{se} = -4 \testo{ m/s} v_{2f} = 2 \testo{ m/s}
Noterai che poiché le due sfere avevano la stessa massa, sostanzialmente si scambiavano velocità.
Esempio 2:Un'auto da 1.200 kg che viaggia verso est a 20 miglia all'ora si scontra frontalmente con un camion da 3.000 kg che viaggia verso ovest a 15 miglia all'ora. I due veicoli rimangono uniti quando si scontrano. Con quale velocità finale si muovono?
Soluzione 2:Una cosa da notare su questo particolare problema sono le unità. Le unità SI per la quantità di moto sono kg⋅m/s. Tuttavia, ti viene data la massa in kg e la velocità in miglia orarie. Nota che finché tutte le velocità sono in unità coerenti, non è necessaria la conversione. Quando risolvi per la velocità finale, la tua risposta sarà in miglia orarie.
La quantità di moto iniziale del sistema può essere espressa come:
m_cv_{ci} + m_tv_{ti} = 1200 \times 20 - 3000 \times 15 = -21.000 \text{ kg}\times\text{mph}
Il momento finale del sistema può essere espresso come:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
La legge di conservazione della quantità di moto ti dice che questi valori iniziali e finali dovrebbero essere uguali. Puoi risolvere per la velocità finale impostando la quantità di moto iniziale uguale alla quantità di moto finale, risolvendo per la velocità finale come segue:
4200v_f = -21.000 \implies v_f = \frac{-21000}{4200} = -5 \text{ mph}
Esempio 3:Dimostrare che l'energia cinetica non è stata conservata nella domanda precedente relativa all'urto anelastico tra l'auto e il camion.
Soluzione 3:L'energia cinetica iniziale di quel sistema era:
\frac{1}{2}m_cv_{ci}^2 + \frac{1}{2}m_tv_{ti}^2 = \frac{1}{2}(1200)(20)^2 + \frac{ 1}{2}(3000)(15)^2 = 557.500 \text{ kg (mph)}^2
L'energia cinetica finale del sistema è stata:
\frac{1}{2}(m_c + m_t) v_f^2 = \frac{1}{2}(1200 + 3000)5^2 = 52.500 \text{ kg (mph)}^2
Poiché l'energia cinetica totale iniziale e l'energia cinetica finale totale non sono uguali, si può concludere che l'energia cinetica non si è conservata.