Il prodotto di due quantità scalari è uno scalare e il prodotto di uno scalare con un vettore è un vettore, ma che dire del prodotto di due vettori? È uno scalare o un altro vettore? La risposta è che potrebbe essere l'una o l'altra!
Ci sono due modi per prendere un prodotto vettoriale. Uno è prendendo il loro prodotto scalare, che produce uno scalare, e l'altro è prendendo il loro prodotto incrociato, che produce un altro vettore. Quale prodotto viene utilizzato dipende dallo scenario particolare e dalla quantità che stai cercando di trovare.
Il prodotto vettoriale di due vettori produce un terzo vettore che punta nella direzione perpendicolare al piano attraversato dai due vettori, e la cui grandezza dipende dalla relativa perpendicolarità dei due vettori.
Definizione del prodotto incrociato dei vettori
Definiamo prima il prodotto vettoriale dei vettori unitariio, jeK(vettori di magnitudine 1 che puntano nelx-, y-ez-direzioni dei componenti del sistema di coordinate cartesiane standard) come segue:
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0
Nota che queste relazioni sono anti-commutative, cioè, se cambiamo l'ordine dei vettori di cui stiamo prendendo il prodotto, capovolge il segno del prodotto:
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
Possiamo usare le definizioni di cui sopra per derivare la formula per il prodotto vettoriale di due vettori tridimensionali. Per prima cosa, scrivi i vettoriunebcome segue:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
Moltiplicando i due vettori si ottiene:
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ grassetto{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ volte i} + a_zb_y\bold{k\volte j} + a_zb_z\bold{k\volte k}
Quindi, usando le relazioni del vettore unitario sopra, questo si semplifica in:
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\bold{k}
(Nota che i termini il cui prodotto vettoriale era 0, sono i termini che formano il prodotto scalare (chiamato anche prodotto scalare)!Questa non è una coincidenza.)
In altre parole:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ dove} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
La grandezza del prodotto vettoriale può essere trovata usando il teorema di Pitagora.
La formula del prodotto incrociato può anche essere espressa come determinante della seguente matrice:
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matrice}\Bigg| \\ = \Big|\begin{matrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrice}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrice}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrice} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrice}\Big|\bold{k}
\text{Dove il determinante } \Big|\begin{matrice} a & b \\ c & d \end{matrice}\Big| = annuncio - bc
Un'altra formulazione, spesso molto conveniente, del prodotto incrociato è (vedi la fine di questo articolo per la derivazione):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin (θ) \bold{n}
Dove:
- |un| è la grandezza (lunghezza) del vettoreun
- |b| è la grandezza (lunghezza) del vettoreb
- è l'angolo tra une b
- nè il vettore unitario perpendicolare al piano attraversato da uneb
Vettori perpendicolari e regola della mano destra
Nella descrizione del prodotto vettoriale si afferma che la direzione del prodotto vettoriale è perpendicolare al piano attraversato dal vettoreune vettoreb. Ma questo lascia due possibilità: potrebbe puntarefuori dal'aereo oinil piano attraversato da quei vettori. La realtà è che possiamo effettivamente scegliere l'una o l'altra finché siamo coerenti. La direzione preferita scelta da matematici e scienziati allo stesso modo, tuttavia, è determinata da qualcosa chiamatoregola della mano destra.
Per determinare la direzione di un prodotto vettoriale vettoriale utilizzando la regola della mano destra, puntare il dito indice della mano destra nella direzione del vettoreune il tuo dito medio nella direzione del vettoreb. Il pollice punta quindi nella direzione del vettore del prodotto incrociato.
A volte queste indicazioni sono difficili da rappresentare su un pezzo di carta piatto, quindi spesso vengono fatte le seguenti convenzioni:
Per indicare un vettore che va nella pagina, disegniamo un cerchio con una X (pensa a questo come a rappresentare le penne della coda all'estremità della freccia mentre la guardi da dietro). Per indicare un vettore che esce dalla pagina nella direzione opposta, disegniamo un cerchio con un punto al suo interno (pensa a questo come alla punta della freccia che punta fuori dalla pagina).
•••n / A
Proprietà del prodotto incrociato
Di seguito sono riportate diverse proprietà del prodotto vettoriale vettoriale:
\#\testo{1. Se } \bold{a} \text{ e } \bold{b} \text{ sono paralleli, allora } \bold{a\times b} = 0
\#\testo{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}
\#\testo{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\testo{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})
\#\testo{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Dove }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrice} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrice }\Bigg|
Interpretazione geometrica del prodotto incrociato
Quando il prodotto vettoriale vettoriale è formulato in termini di sin (θ), la sua grandezza può essere interpretata come rappresentante l'area del parallelogramma attraversata dai due vettori. Questo perché pera × b, |b|sin (θ) = l'altezza del parallelogramma, come mostrato, e |un| è la base.
•••Dana Chen | scienze
La grandezza del vettore triplo prodottoa (b × c) può a sua volta essere interpretato come il volume del parallelepipedo attraversato dai vettoriun, bec. Questo è perché(b × c) dà un vettore la cui grandezza è l'area coperta dal vettorebe vettorec, e la cui direzione è perpendicolare a tale area. Prendendo il prodotto scalare del vettoreuncon questo risultato, sostanzialmente moltiplica l'area di base per l'altezza.
Esempi
Esempio 1:La forza su una particella di caricaqmuoversi con velocitàvnel campo magneticoBè dato da:
\bold{F} = q\bold{v\times B}
Supponiamo che un elettrone attraversi un campo magnetico di 0.005 T a velocità 2×107 SM. Se passa perpendicolarmente attraverso il campo, la forza che sentirà sarà:
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0,005 )\sin (90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{N}\bold{n}
Tuttavia, se l'elettrone viaggia parallelo al campo, allora = 0 e sin (0) = 0, rendendo la forza 0.
Nota che per l'elettrone che passa perpendicolarmente attraverso il campo, questa forza lo farà muovere in un percorso circolare. Il raggio di questo percorso circolare può essere trovato impostando la forza magnetica uguale alla forza centripeta e risolvendo per raggior:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}
Per l'esempio sopra, inserendo i numeri si ottiene un raggio di circa 0,0227 m.
Esempio 2:Anche la grandezza fisica coppia viene calcolata utilizzando un prodotto vettoriale incrociato. Se una forzaFviene applicato a un oggetto in posizionerdal punto di rotazione, la coppiaτrispetto al punto di articolazione è dato da:
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Si consideri la situazione in cui una forza di 7 N viene applicata con un angolo all'estremità di un'asta da 0,75 la cui altra estremità è attaccata a un perno. L'angolo trareFè 70 gradi, quindi la coppia può essere calcolata:
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0.75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4.93 \text{Nm }\bold{ n}
La direzione della coppia,n, si trova tramite la regola della mano destra. Se applicato all'immagine sopra, dà una direzione che esce dalla pagina o dallo schermo. In generale, una coppia applicata a un oggetto farà ruotare l'oggetto. Il vettore della coppia giace sempre nella stessa direzione dell'asse di rotazione.
In effetti, in questa situazione può essere utilizzata una regola della mano destra semplificata: utilizzare la mano destra per "afferrare" l'asse di rotazione in in modo tale che le dita si arriccino nella direzione in cui la coppia associata vorrà far ruotare l'oggetto. Il pollice punta quindi nella direzione del vettore di coppia.
Derivazione della formula del prodotto incrociato
\text{Qui mostreremo come la formula del prodotto incrociato } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\bold{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ può essere derivato.}
Considera due vettoriunebcon angoloθfra loro. Un triangolo rettangolo può essere formato disegnando una linea dalla punta del vettoreunad un punto di contatto perpendicolare sul vettoreb.
Usando il teorema di Pitagora, otteniamo la seguente relazione:
\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{Dove }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ è la proiezione del vettore } \bold {a} \text{ sul vettore } \bold{b}.
Semplificando un po' l'espressione, otteniamo quanto segue:
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Quindi, moltiplica entrambi i membri dell'equazione per |b|2 e sposta il primo termine a destra per ottenere:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
Lavorando con il lato destro, moltiplica tutto e poi semplifica:
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_^b_zb) + (a_zb_x) - a_^z (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
Impostando il risultato uguale al lato sinistro dell'equazione precedente, otteniamo la seguente relazione:
|\bold{a\times b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
Questo ci mostra che le grandezze sono le stesse nella formula, quindi l'ultima cosa da fare per dimostrare la formula è mostrare che anche le direzioni sono le stesse. Questo può essere fatto semplicemente togliendo i prodotti scalariuncona × bebcona × be mostrando che sono 0, implicando che la direzione dia × b è perpendicolare ad entrambi.