A volte è necessario trovare un vettore diverso da zero che, moltiplicato per una matrice quadrata, ci restituisca un multiplo del vettore. Questo vettore diverso da zero è chiamato "autovettore". Gli autovettori non interessano solo i matematici, ma anche altri in professioni come la fisica e l'ingegneria. Per calcolarli, dovrai comprendere l'algebra delle matrici e i determinanti.
Imparare e comprendere la definizione di "autovettore". Si trova per una matrice quadrata n x n A e anche a autovalore scalare chiamato "lambda". Lambda è rappresentato dalla lettera greca, ma qui lo abbrevieremo in l. Se esiste un vettore x diverso da zero dove Ax = Lx, questo vettore x è chiamato "autovalore di A".
Trova gli autovalori della matrice utilizzando l'equazione caratteristica det (A -- LI) = 0. "Det" sta per il determinante e "I" è la matrice identità.
Calcola l'autovettore per ogni autovalore trovando un autospazio E(L), che è lo spazio nullo dell'equazione caratteristica. I vettori non nulli di E(L) sono gli autovettori di A. Questi si trovano ricollegando gli autovettori alla matrice caratteristica e trovando una base per A -- LI = 0.
Calcolare gli autovalori con l'uso dell'equazione caratteristica. Det (A -- LI) è (3 -- L)(3 -- L) 1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, che è il polinomio caratteristico. Risolvendo questo algebricamente si ottiene L1 = 4 e L2 = 2, che sono gli autovalori della nostra matrice.
Trova l'autovettore per L = 4 calcolando lo spazio nullo. Fallo ponendo L1 = 4 nella matrice caratteristica e trovando la base per A -- 4I = 0. Risolvendo questo, troviamo x -- y = 0, oppure x = y. Questo ha solo una soluzione indipendente poiché sono uguali, come x = y = 1. Pertanto, v1 = (1,1) è un autovettore che copre l'autospazio di L1 = 4.
Ripetere il passaggio 6 per trovare l'autovettore per L2 = 2. Troviamo x + y = 0, oppure x = --y. Questo ha anche una soluzione indipendente, diciamo x = --1 e y = 1. Quindi v2 = (--1,1) è un autovettore che abbraccia l'autospazio di L2 = 2.