Padroneggiare i concetti di seno e coseno è parte integrante della trigonometria. Ma una volta che hai queste idee sotto la cintura, diventano i mattoni per altri strumenti utili nella trigonometria e, in seguito, nel calcolo. Ad esempio, la "legge dei coseni" è una formula speciale che puoi usare per trovare il lato mancante di un triangolo se conosci la lunghezza degli altri due lati più l'angolo tra di loro, o per trovare gli angoli di un triangolo quando li conosci tutti e tre lati.
La legge dei coseni
La legge dei coseni è disponibile in diverse versioni, a seconda di quali angoli o lati del triangolo hai a che fare:
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos (C)
In ogni caso,un, becsono i lati di un triangolo, eUN, B, oCè l'angolo opposto al lato della stessa lettera. CosìUNè l'angolo lato oppostoa, Bè l'angolo lato oppostob, eCè l'angolo lato oppostoc. Questa è la forma dell'equazione che usi se trovi la lunghezza di uno dei lati del triangolo.
La legge dei coseni può anche essere riscritta in versioni che rendono più facile trovare uno qualsiasi dei tre angoli del triangolo, supponendo che tu conosca le lunghezze di tutti e tre i lati del triangolo:
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Risolvere per un lato
Per usare la legge dei coseni per risolvere il lato di un triangolo, hai bisogno di tre informazioni: le lunghezze degli altri due lati del triangolo, più l'angolo tra di loro. Scegli la versione della formula in cui il lato che vuoi trovare è a sinistra dell'equazione e le informazioni che hai già sono a destra. Quindi, se vuoi trovare la lunghezza del latoun, useresti la versione
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
Sostituisci i valori dei due lati noti e l'angolo tra loro nella formula. Se il tuo triangolo ha i lati notibecche misurano rispettivamente 5 unità e 6 unità e l'angolo tra di loro misura 60 gradi (che potrebbe anche essere espresso in radianti come π/3), avresti:
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Usa una tabella o la tua calcolatrice per cercare il valore del coseno; in questo caso, cos (60) = 0,5, ottenendo l'equazione:
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Semplifica il risultato del passaggio 2. Questo ti dà:
a^2 = 25 + 36 - 30
Che a sua volta si semplifica in:
a^2 = 31
Prendi la radice quadrata di entrambi i membri per finire di risolvereun. Questo ti lascia con:
a = \sqrt{31}
Sebbene tu possa usare un grafico o la tua calcolatrice per stimare il valore di √31 (è 5,568), spesso ti sarà permesso - e persino incoraggiato - di lasciare la risposta nella sua forma radicale più precisa.
Risolvere per un angolo
Puoi applicare lo stesso processo per trovare uno qualsiasi degli angoli del triangolo se conosci tutti e tre i suoi lati. Questa volta sceglierai la versione della formula che inserisce l'angolo mancante o "non lo so" sul lato sinistro del segno di uguale. Immagina di voler trovare la misura dell'angolo C (che, ricorda, è definito come l'angolo lato oppostoc). Utilizzerai questa versione della formula:
\cos (C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Sostituisci i valori noti – in questo tipo di problema, cioè le lunghezze di tutti e tre i lati del triangolo – nell'equazione. Ad esempio, lascia che i lati del tuo triangolo sianoun= 3 unità,b= 4 unità ec= 25 unità. Quindi la tua equazione diventa:
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Una volta semplificata l'equazione risultante, avrai:
\cos (C) = \frac{0}{24}
o semplicemente cos(C) = 0.
Calcola il coseno inverso o l'arcocoseno di 0, spesso indicato come cos-1(0). O, in altre parole, quale angolo ha il coseno 0? In realtà ci sono due angoli che restituiscono questo valore: 90 gradi e 270 gradi. Ma per definizione sai che ogni angolo in un triangolo deve essere inferiore a 180 gradi, quindi questo lascia solo 90 gradi come opzione.
Quindi la misura del tuo angolo mancante è di 90 gradi, il che significa che hai a che fare con un triangolo rettangolo, sebbene questo metodo funzioni anche con triangoli non rettangoli.