Come calcolare i volumi dei prismi pentagonali

UN prisma può essere un elegante oggetto decorativo, uno strumento in fisica o semplicemente un affascinante costrutto geometrico che si dà il caso che sia anche utile. L'occhio e la mente umani hanno un debole per la simmetria nell'arte e nella natura e trovano attrattiva nelle forme tridimensionali che sono regolari, sfaccettate e trasmettono e riflettono la luce.

Oggetti con a lotto di lati - per esempio, un dodecaedro, che ha 12 facce identiche a cinque lati che compongono la sua superficie - sono divertenti da guardare, ma la matematica alla base della loro geometria può essere noiosa nella migliore delle ipotesi.

Un prisma a cinque lati (cioè pentagonale) è un utile punto di partenza per gli studenti che cercano di imparare a calcolare i volumi di poliedri, di cui i prismi sono uno dei tanti tipi comuni e un numero infinito di tipi teorici.

"Polyhedra" suona forse come un mostro del mondo della mitologia greca. In effetti, la parte "greca" di ciò è corretta: la parola

Un poliedro è un qualsiasi solido tridimensionale costituito da facce piane. La faccia su cui è raffigurato un poliedro "in appoggio" è la sua base, che può essere identica a tutte, alcune o nessuna delle altre facce. L'esempio più semplice è a piramide, che ha quattro facce triangolari. Un cubo ha sei facce identiche ed è un caso speciale di a cuboide, che è una qualsiasi figura a sei lati costituita da angoli retti.

UN prisma è un poliedro che potrebbe essere stato creato "spingendo" a poligono, o figura bidimensionale con tre o più angoli, in linea retta attraverso lo spazio per formare due estremità e collegarle usando tanti piani paralleli quanti sono i lati del prisma. Il prisma più semplice è costituito da due triangoli equilateri con le facce parallele tra loro e separati da tre facce rettangolari identiche orientate ad angoli di 60 gradi rispetto a quelle vicine facce.

UN prisma pentagonale la stessa cosa si è espansa per includere due angoli aggiuntivi e altre due facce. Comprende quindi due basi pentagonali e cinque lati rettangolari. È quindi un ettaedro, perché ha sette lati (hepta- è un prefisso greco che significa "sette").

L'area di qualsiasi poligono regolare (cioè quello in cui tutti gli angoli e i lati sono identici) con lunghezza del lato S si trova dalla formula:

A = (n)(s²)/[4 abbronzatura (180/n)]

Per un pentagono (n = 5), questo si riduce a:

A = 5s²/2,91 = 1,72 s²

Se dovessi "spiegare" o "appiattire" un prisma pentagonale di cartone, rimarrai con due facce pentagonali identiche (le basi del prisma) e cinque facce rettangolari identiche.

Due lati di ogni rettangolo sono condivisi con i lati dei pentagoni; chiama questa lunghezza S. Se chiami etichetta gli altri due lati (che possono essere corti o lunghi quanto vuoi, almeno in teoria) h, allora l'area di ciascun lato rettangolare è sh, e l'area di tutti i lati combinati è 5sh.

Ci sono due facce pentagonali, quindi l'area totale di un prisma pentagonale è:

A = 5(sh) + 2(1.72s²) = 5(sh) + 3,44s²

Per qualsiasi prisma standard, il volume è solo l'area della base per l'altezza. Ciò significa moltiplicare 1.72s², il valore dell'area di un pentagono dall'equazione precedente, per l'altezza h in qualsiasi unità tu stia utilizzando. La formula del volume è:

V = 1,72 s²h

Ad esempio, se hai un prisma pentagonale grande con un'altezza di 30 cm (0,3 m) e lati di 10 cm (0,1 m), l'area è:

A = 5(sh) + 2(1.72s²) = 5 (0,3 m) (0,1 m) + 2 (1,72) (0,1 m)²

= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m²

Il volume è dato da:

V = (1,72) (0,1 m)²(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10^-3 m³