In geometria, un radiante è un'unità utilizzata per misurare gli angoli. Il radiante deriva dalla lunghezza del raggio del cerchio. Il segmento della circonferenza di un cerchio che corrisponde all'angolo formato da due linee di raggio forma un arco. L'angolo che questo arco crea, quando si disegnano linee dai punti iniziale e finale al centro del cerchio, è un radiante. Sebbene il radiante possa inizialmente sembrare strano e complicato, semplifica le equazioni in matematica e fisica.
TL; DR (troppo lungo; non ho letto)
In geometria, un radiante è un'unità basata sul cerchio e utilizzata per misurare gli angoli. Facilita i calcoli nei tipi avanzati di matematica.
Gradi vs. radianti
Al di fuori della fisica e della matematica avanzata, i gradi sono in genere unità più familiari per le misurazioni angolari. Un cerchio, ad esempio, ha 360 gradi, un triangolo ha 180 e un angolo retto ha 90. Al contrario, un cerchio completo ha 2 × π (pi) radianti, un triangolo ha π radianti e un angolo retto è π/2 radianti. Un cerchio ha un numero intero di gradi, mentre in radianti il valore è un numero irrazionale, quindi i radianti a prima vista potrebbero sembrare strani. D'altra parte, potresti esprimere frazioni di grado come decimale o come minuti, secondi e secondi decimali che usi anche con il tempo, quindi il grado ha problemi a sé stante.
Più facile e più difficile
Le misurazioni dei gradi sono in genere più facili da gestire rispetto ai radianti per l'aritmetica di base e la trigonometria; raramente hai a che fare con frazioni di quando esprimi un angolo. Ma per il calcolo e altri calcoli matematici avanzati, risulta che i radianti sono più facili. Ad esempio, la serie di potenze per la funzione seno in radianti è la seguente:
\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9 }{9!} + ...
In gradi, la funzione si presenta così:
\sin (x) = (π × x/180) - \frac{(π × x/180)^3}{3!} + \frac{(π × x/180)^5}{ 5!} - \frac{ (π × x/180)^7}{7!} + \frac{(π × x/180)^9}{9!} + ...
Per questa serie di potenze, notare che è necessario ripetere il "π ×X/180" per ogni termine: molte scritture e calcoli extra rispetto all'equivalente più ordinato e compatto in radianti. Il radiante deriva dalla geometria naturale di un cerchio piuttosto che da una divisione per un numero arbitrario, come fanno i gradi. Poiché i radianti rendono più facili molti calcoli, i matematici pensano che l'unità sia più "naturale" dei gradi.
Usi per i radianti
Oltre alle serie di potenze come l'esempio della funzione seno, vedrai i radianti in matematica che coinvolgono il calcolo e le equazioni differenziali. Ad esempio, quando usi i radianti, la derivata della funzione seno, sin(X), è semplicemente il coseno, cos(X). In gradi, invece, la derivata di sin(X) è il più ingombrante (π ÷ 180) × cos(X). Man mano che avanzi in matematica, i problemi diventano più difficili e le soluzioni richiedono molte più linee di calcolo e algebra. I radianti ti fanno risparmiare un sacco di inutili scritture extra e riducono le possibilità di commettere errori.
In fisica, le formule per la frequenza delle onde e la velocità di rotazione degli oggetti usano un omega minuscolo, "ω”, come comoda abbreviazione per “2 × π × radianti al secondo”.
Conversione di gradi in radianti
Le formule per convertire i gradi in radianti e viceversa sono semplici. Per convertire gli angoli in gradi in radianti, moltiplica l'angolo per, quindi dividi per 180. Ad esempio, un cerchio ha 360 gradi. Moltiplicato per, diventa 360π; quindi dividi per 180 e ottieni 2π radianti. Per convertire da radianti in gradi, moltiplica per 180 e poi dividi per. Ad esempio, converti un angolo retto, ÷ 2 radianti. Moltiplica per 180 per ottenere 90π, quindi dividi per per ottenere il risultato, 90 gradi.