In matematica, un reciproco di un numero è il numero che, moltiplicato per il numero originale, produce 1. Ad esempio, il reciproco per la variabile x è 1/X, perché
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
In questo esempio, 1/Xè l'identità reciproca diX, e viceversa. In trigonometria, uno degli angoli non di 90 gradi in un triangolo rettangolo può essere definito da rapporti chiamati seno, coseno e tangente. Applicando il concetto di identità reciproca, i matematici definiscono altri tre rapporti. I loro nomi sono cosecante, secante e cotangente. Cosecante è l'identità reciproca del seno, secante quella del coseno e cotangente quella della tangente.
Come determinare le identità reciproche
Considera un angoloθ, che è uno dei due angoli non di 90 gradi in un triangolo rettangolo. Se la lunghezza del lato del triangolo opposto all'angolo è "b," la lunghezza del cateto adiacente all'angolo e opposto all'ipotenusa è "un" e la lunghezza dell'ipotenusa è "r," possiamo definire i tre rapporti trigonometrici primari in termini di queste lunghezze.
\text{seno } θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{coseno }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangente }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
L'identità reciproca del peccatoθdeve essere uguale a 1/sin θ, poiché questo è il numero che, moltiplicato per sinθ, produce 1. Lo stesso vale per cosθe tanθ. I matematici danno a questi reciproci i nomi rispettivamente cosecante, secante e cotangente. Per definizione:
\text{cosecant }θ = \csc = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secante }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos } \\ \,\\ \text{cotangente }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
Puoi definire queste identità reciproche in termini di lunghezza dei lati del triangolo rettangolo come segue:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
Le seguenti relazioni sono vere per qualsiasi angoloθ:
\sin θ × \csc θ = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
Altre due identità trigonometriche
Se conosci il seno e il coseno di un angolo, puoi ricavare la tangente. Questo è vero perché
\sin = \frac{b}{r} \text{ e } \cos θ = \frac{a}{r} \text{, quindi } \frac{\sin θ}{\cos } = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Poiché questa è la definizione di tan, segue la seguente identità, nota come identità quoziente:
\frac{\sin }{\cos } = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos }{\sin } = \cot
L'identità pitagorica segue dal fatto che, per ogni triangolo rettangolo con latiunebe ipotenusar, vale quanto segue:un2 + b2 = r2. Riordinando i termini e definendo i rapporti in termini di seno e coseno, si arriva alla seguente espressione:
\sin^2 + \cos^2 θ = 1
Seguono altre due importanti relazioni quando si inseriscono identità reciproche per seno e coseno nell'espressione sopra:
\tan^2 + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 + 1 = \csc^2